[论文解读] Path independence of the additive functionals for McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps

Huijie Qiao, Jiang-Lun Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过利用关于概率测度的$L$-导数的非线性偏积分微分方程，建立了带跳的McKean-Vlasov随机微分方程的加法泛函的路径无关性。作者通过为带跳的McKean-Vlasov SDEs推导出一种新颖的伊藤公式，将先前针对扩散过程的工作推广到跳跃扩散设定，该公式避免了抽象概率空间，简化了现有证明，并在跳跃测度和系数的普遍条件下证明了结果。

ABSTRACT

In this article, the path independent property of additive functionals of McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps is characterised by nonlinear partial integro-differential equations involving $L$-derivatives with respect to probability measures introduced by P.-L. Lions. Our result extends the recent work [16] by Ren and Wang where their concerned McKean-Vlasov stochastic differential equations are driven by Brownian motions.

研究动机与目标

• 将McKean-Vlasov SDEs的路径无关加法泛函的表征从扩散驱动情形推广到带跳情形。
• 为带跳的McKean-Vlasov SDEs开发一种新伊藤公式，避免使用抽象概率空间，简化现有证明。
• 建立路径无关性与涉及$L$-导数的非线性偏积分微分方程解之间的联系。
• 通过引入补偿的泊松随机测度，将Ren和Wang（2016）的结果推广到跳跃扩散设定。
• 提供一个适用于一般Lévy噪声的平均场SDEs的框架，包括无穷维扩展。

提出的方法

• 使用P.-L. Lions引入的关于概率测度的$L$-导数，为带跳的McKean-Vlasov SDEs推导出一种新伊藤公式。
• 通过截断和在$L^2$-Wasserstein距离下的收敛性，采用极限论证处理非利普希茨系数。
• 将伊藤公式应用于加法泛函$h(t, X_t, \nu_t)$，其中$\nu_t = \text{Law}(X_t)$，并推导出相应的生成元方程。
• 通过涉及时间、空间和测度导数的非线性偏积分微分方程表征路径无关性。
• 使用补偿泊松测度$\tilde{N}(dt, du)$建模跳跃，并通过关于$\nu$的矩条件确保可积性。
• 使用$L^2$-Wasserstein度量$\rho^2(\mu_1, \mu_2)$定义测度收敛性，并证明解的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，McKean-Vlasov SDEs带跳的加法泛函是路径无关的？
• RQ2 如何利用关于概率测度的$L$-导数来表征跳跃扩散设定下的路径无关性？
• RQ3 McKean-Vlasov SDEs带跳的正确伊藤公式形式是什么？它与经典版本有何不同？
• RQ4 路径无关性条件如何与涉及$L$-导数的非线性偏积分微分方程相关联？
• RQ5 该新伊藤公式在多大程度上推广了文献中先前的结果，特别是那些局限于扩散情形的研究？

主要发现

• 本文证明了一种针对带跳McKean-Vlasov SDEs的新伊藤公式，其形式比现有版本更简洁，且无需依赖抽象概率空间。
• 加法泛函的路径无关性由涉及关于过程分布的$L$-导数的非线性偏积分微分方程表征。
• 表征方程的解满足条件$\partial_t h + \mathcal{L}h = 0$，其中$\mathcal{L}$是包含漂移、扩散和跳跃分量的扩展生成元。
• 逼近序列在$L^2$-Wasserstein拓扑下的收敛性确保了解的律的稳定性，并为证明中的极限论证提供了依据。
• 该结果通过将Ren和Wang（2016）关于布朗运动驱动SDEs的路径无关性结果推广到跳跃扩散SDEs，实现了推广。
• 该方法在矩条件约束下允许非利普希茨系数，从而将适用范围扩展到经典假设之外。