[论文解读] Path integral formulation of constrained systems with singular-higher order Lagrangian

Sami I. Muslih|ArXiv.org|Sep 10, 2000

Numerical methods for differential equations被引用 9

一句话总结

本文通过哈密顿-雅可比方法，为具有奇异高阶拉格朗日量的约束系统发展了一种路径积分公式。通过推广经典路径积分以适应哈密顿-雅可比偏微分方程，并结合多变量全微分方程的可积性条件，作者推导出一个在任意导数阶数和奇异海森矩阵结构下均有效的、对正则相空间坐标进行积分的路径积分，扩展了此前对一阶系统的相关研究。

ABSTRACT

Systems with singular higher order- Lagrangians are investigated by using the extended form of the canonical method. Besides, the canonical path integral formulation is generalized using the Hamilton- jacobi formulation to investigate singular systems

研究动机与目标

• 将路径积分的正则化方法推广至超越一阶情形的奇异高阶拉格朗日系统。
• 解决具有退化（奇异）海森矩阵的高阶导数系统中约束动力学的挑战。
• 利用哈密顿-雅可比方法构建正则路径积分，确保其与这类系统的正则力学一致。
• 推导出一个对正则相空间坐标进行积分的路径积分表达式，同时考虑约束与可积性条件。
• 通过全微分方程与无穷小生成元，将先前关于一阶奇异系统的结果推广至任意阶拉格朗日系统。

提出的方法

• 研究从一个依赖于至多 $k$ 阶导数的高阶拉格朗日量出发，将每一阶导数视为独立坐标处理。
• 通过奥斯特罗格拉茨基形式化方法定义正则动量，使用海森矩阵 $A_{ij}$ 对系统进行正则性与奇异性的分类。
• 对于奇异系统，海森矩阵的秩为 $n-r$，导致 $r$ 个初级约束，从而可通过 $q_{a}^{(k)} = W_{(k)a}(q_{(s)i}, p_{(k-1)b}, q_{{ u}}^{(k)})$ 将 $q_{(k-1)a}^{(k)}$ 表示为其他变量的函数。
• 构造正则哈密顿量 $H_0$，并推导出哈密顿-雅可比偏微分方程（HJPDE）：$H'_{(s) u} = p_{(s) u} + H_{(s) u} = 0$，作为路径积分的基础。
• 对由 HJPDE 导出的全微分方程施加可积性条件，以确保一致性，并在需要时识别额外约束。
• 最终的路径积分表达为对 $q_{(u)a}, p_{(u)a}$ 的相空间积分，其作用量泛函包含 $H_{(d)eta}$ 与哈密顿-雅可比生成函数的导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将路径积分公式一致地推广至任意导数阶数 $k$ 的奇异高阶拉格朗日系统？
• RQ2 全微分方程的可积性条件在确保此类系统正则路径积分一致性方面起什么作用？
• RQ3 哈密顿-雅可比偏微分方程及其全微分形式与奇异高阶导数系统的正则结构有何关系？
• RQ4 在高阶约束系统背景下，$H'_{(s) u}$ 函数如何作为正则变换的无穷小生成元发挥作用？
• RQ5 当 $k=1$ 时，所提出的路径积分如何退化为已知的一阶情形？

主要发现

• 路径积分为对正则相空间坐标 $(q_{(u)a}, p_{(u)a})$ 的积分，其作用量通过哈密顿-雅可比生成函数及其导数表达。
• 运动方程以多变量全微分方程的形式导出，需验证可积性条件 (18) 以确保一致性。
• 当可积性条件恒为零或导出一致约束时，系统被视为可积，路径积分即为良定义。
• 哈密顿量 $H'_{(s) u}$ 作为正则变换的无穷小生成元，参数化为 $t_{(s) u}$，推广了标准哈密顿量在时间演化中的作用。
• 当 $k=1$ 时，所推导的路径积分表达式 (19) 退化为先前文献 [6,7] 中已知的一阶路径积分公式。
• 该方法成功地将正则路径积分推广至奇异高阶系统，通过将完整的约束结构嵌入哈密顿-雅可比框架中。