[论文解读] Path integral invariance under point canonical transformations

Andres Jordan, Matias Libedinsky|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 1997

Algebraic and Geometric Analysis被引用 1

一句话总结

本文证明，当在变换过程中保持连接相邻点的离散路径集合不变时，路径积分在点共形变换下保持不变。通过显式计算极坐标系下自由粒子的核函数，表明适当的路径选择可消除坐标变换引起的模糊性，从而解决量子力学中不同坐标系下路径积分等价性长期存在的疑虑。

ABSTRACT

It is often stated in the literature on path integrals that naive changes of coordinates might in general give inequivalent theories. The discrepancy is presumably connected to subtleties in the discretization, to the stochastic nature of quantum paths, or to operator order ambiguities in the canonical quantization. Here we argue that in order to define a path integral one needs not only a Lagrangian but also a set of paths that join succesive points in the discretized paths. If the set of paths is maintained when performing a point canonical transformation the path integral does not change. We explicitly show this with the calculation of the free particle kernel in polar coordinates.

研究动机与目标

• 解决量子力学中路径积分在坐标变换下不等价性的长期问题。
• 阐明为何路径积分表述中的简单坐标变换可能导致不同理论。
• 确立当在点共形变换过程中保持离散路径集合时，路径积分不变性得以维持。
• 通过在极坐标系中计算自由粒子核函数，提供一个具体实例。

提出的方法

• 本文提出一种框架，其中路径积分不仅由拉格朗日量定义，还由离散时间中连接相邻点的指定路径集合定义。
• 在保持离散表述中原路径结构的前提下，对拉格朗日量施加点共形变换。
• 该方法涉及在极坐标系中对自由粒子的路径积分进行显式计算，使用与笛卡尔坐标系中相同的路径集合。
• 分析表明，核函数在变换下保持不变，从而确认了不变性。
• 强调当路径集合一致保持时，可避免算符排序和离散化模糊性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，点共形变换可保持量子力学中路径积分表述的不变性？
• RQ2 为何路径积分中的简单坐标变换有时会导致不等价的理论？
• RQ3 当在不同坐标系之间变换时，如何恢复路径积分的不变性？
• RQ4 离散路径的选择在确保路径积分一致性方面起什么作用？

主要发现

• 当连接相邻点的离散路径集合在变换过程中保持不变时，路径积分在点共形变换下保持不变。
• 当保持相同的路径结构时，极坐标系下自由粒子的核函数与笛卡尔坐标系下完全相同。
• 通过强调离散化中路径选择的作用，该研究消除了因坐标变换导致的路径积分表述中的表观不一致。
• 研究证明，若在变换过程中一致地携带过路径集合，则不会出现算符排序和随机路径模糊性。