[论文解读] Path integral quantization of Yang-Mills theory

Sami I. Muslih|ArXiv.org|Nov 14, 2000

Particle Accelerators and Free-Electron Lasers被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于哈密顿-雅可比偏微分方程的正则路径积分形式的杨-米尔斯理论无规范固定路径积分量化方法。通过确保运动方程的可积性条件，该方法直接在正则相空间变量上构造路径积分，无需引入拉格朗日乘子、狄拉克函数或规范固定条件，为法德德夫-波波夫量化提供了一种一致的替代方案。

ABSTRACT

Path integral formulation based on the canonical method is discussed. Path integral for Yang-Mills theory is obtained by this procedure. It is shown that gauge fixing which is essential procedure to quantize singular systems by Faddeev's and Popov's method is not necessary if the canonical path integral formulation is used.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖规范固定程序的杨-米尔斯理论路径积分量化方法。
• 证明正则路径积分形式可自然地为具有第一类约束的奇异系统构造出定义良好的路径积分。
• 表明在采用正则路径积分方法时，标准的法德德夫-波波夫方法并非必要。
• 建立运动方程可积性与正则变量路径积分一致构造之间的直接联系。

提出的方法

• 该方法从约束系统的正则结构导出的哈密顿-雅可比偏微分方程（HJPDE）出发。
• 利用可积性条件 dH′α = 0，确保正则相空间坐标 q_a 和 p_a 可作为时间参数 t_α 的函数存在。
• 通过运动方程的全微分形式 dz = (−H_α + p_a ∂H′_α/∂p_a) dt_α，直接推导出正则作用量。
• 在不引入规范固定项的前提下，基于推导出的作用量，将路径积分构造为对正则变量 A_i^a 和 π_i^a 的泛函积分。
• 该方法避免引入辅助场、拉格朗日乘子或法德德夫-波波夫量化中常见的行列式模糊性。
• 通过连续对 H′_α 和 F_1^a 进行变分，验证约束的闭合性，确保可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过正则路径积分形式在不使用规范固定的情况下一致地量化杨-米尔斯理论？
• RQ2 正则路径积分方法是否能为具有第一类约束的规范理论构造出幺正且定义良好的量子理论？
• RQ3 哈密顿-雅可比系统的可积性与路径积分中无规范固定的关联是什么？
• RQ4 在正则框架下，直接从运动方程推导出的路径积分作用量具有何种结构？

主要发现

• 杨-米尔斯理论的路径积分被直接导出为 ∫∏DA_i^a Dπ_i^a exp[i∫(−¼F_ij^aF_a^ij + ½π_a^iπ_i^a + D_iπ_a^i A_0^a − ∂_i(π_a^i A_0^a) + π_a^i ∂_0 A_i^a) d⁴x]，且无需规范固定。
• 通过确保 HJPDE 系统的可积性，该方法避免了法德德夫-波波夫鬼粒子、行列式雅可比行列式以及辅助约束的引入。
• 正则变量 A_i^a 和 π_i^a 通过一致积分全微分方程，作为时间参数 t 和 A_0^a 的函数获得。
• 仅在引入 F_1^a = −D_iπ_a^i 作为约束后，条件 dH′_0 = 0 和 dH′_a = 0 才被满足，且该约束被一致地闭合。
• 所得路径积分明显非奇异，且在完整的正则相空间上定义，与标准法德德夫-波波夫方法不同。
• 正则路径积分形式为传统量化提供了一致的替代方案，在不引入规范固定的同时保持了幺正性和度量的正定性。