[论文解读] Path integral solution for a Klein-Gordon particle in vector and scalar deformed radial Rosen-Morse-type potentials

A. Khodja, A Kadja+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文针对具有相等矢量与标量分量的变形径向罗森-莫尔斯型势中的克莱因-高布格粒子，采用 $q$-变形双曲函数，提出了路径积分解法。通过近似处理角动量项并应用狄拉克-$\delta$微扰方法，作者推导出闭合形式的径向格林函数，并获得束缚态能级与波函数的超越方程，适用于各种 $q$-参数区域及特殊情形（如曼宁-罗森势与埃克特势）。

ABSTRACT

The problem of a Klein-Gordon particle moving in equal vector and scalar Rosen-Morse-type potentials is solved in the framework of Feynman's path integral approach. Explicit path integration leads to a closed form for the radial Green's function associated with different shapes of the potentials. For $q\leq -1$, and $\frac{1}{2α}\ln \left\vert q ight\vert 0$, it is shown that the quantization conditions for the bound state energy levels $E_{n_{r}}$ are transcendental equations which can be solved numerically. Three special cases such as the standard radial Manning-Rosen potential $(\left\vert q ight\vert =1)$, the standard radial Rosen-Morse potential $% (V_{2} ightarrow -V_{2},q=1)$ and the radial Eckart potential $% (V_{1} ightarrow -V_{1},q=1)$ are also briefly discussed.

研究动机与目标

• 为具有相等矢量与标量分量的 $q$-变形径向罗森-莫尔斯型势中的相对论性自旋零价粒子，提供完整的路径积分处理方法。
• 当 $q \leq -1$ 时，对任意轨道量子数 $l$ 推导出径向格林函数，使用对离心势的适当近似。
• 通过将问题转化为具有狄利克雷边界条件的半直线势，将解扩展至 $s$-波态（$l=0$）的 $-1 < q < 0$ 和 $q > 0$ 情况。
• 将曼宁-罗森、罗森-莫尔斯与埃克特势等标准势作为 $q$-变形模型的极限情形进行恢复与分析。
• 以超几何函数形式，获得束缚态能级的量子化条件及相应的归一化波函数。

提出的方法

• 使用费曼路径积分形式化方法，为具有相等矢量与标量分量的中心势中的粒子，构建径向格林函数。
• 应用 $q$-变形双曲函数参数化定义势能：$V_q(r) = S_q(r) = -\frac{V_1}{\cosh_q^2(\alpha r)} - V_2 \tanh_q(\alpha r)$，其中 $q \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$。
• 当 $q \leq -1$ 时，对离心项使用近似，以闭合形式计算径向格林函数，从而推导出能级与波函数。
• 当 $-1 < q < 0$ 与 $q > 0$ 时，通过引入狄拉克-$\delta$ 函数微扰，将路径积分转化为半直线问题，以在 $x_0 = \frac{1}{\alpha} \ln |q|$ 处实现反射边界条件。
• 使用微扰方法评估半直线上的径向格林函数，导出涉及超几何函数的超越量子化条件。
• 通过格林函数的极点推导出能谱与径向波函数，其表达形式为雅可比多项式与超几何函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将路径积分方法应用于求解 $q$-变形罗森-莫尔斯型势中相对论性自旋零价粒子的克莱因-高布格方程？
• RQ2 当变形参数 $q$ 取值为 $q \leq -1$、$-1 < q < 0$ 与 $q > 0$ 时，径向格林函数与束缚态谱的行为如何？
• RQ3 这些 $q$-区域中的能级量子化条件有何差异？能否以统一或可解析处理的形式表达？
• RQ4 标准曼宁-罗森、罗森-莫尔斯与埃克特势在多大程度上可作为 $q$-变形模型的极限情形出现？
• RQ5 能否通过路径积分技术，特别是利用狄拉克-$\delta$ 微扰来建模边界条件，以闭合形式推导出波函数与能级？

主要发现

• 当 $q \leq -1$ 且 $r > \frac{1}{\alpha} \ln |q|$ 时，径向格林函数以闭合形式导出，其对应的能量方程包含主量子数 $n_r$ 与轨道量子数 $l$ 的二次表达式。
• 当 $q \leq -1$ 时，能谱由方程 $E_{n_r,l}^2 = (M + E_{n_r,l})^2 - \frac{\alpha^2}{3} l(l+1) + \left(\frac{1}{2} + \sqrt{\left(l + \frac{1}{2}\right)^2 - 2(M + E_{n_r,l}) \frac{V_1}{\alpha^2}}\right)^2 - \frac{\alpha^2}{3} l(l+1)$ 确定，需通过数值方法求解。
• 当 $-1 < q < 0$ 与 $q > 0$ 时，通过狄拉克-$\delta$ 微扰方法获得 $l=0$ 的径向格林函数，导出涉及超几何函数 ${}_2F_1$ 的超越量子化条件。
• 归一化的径向波函数以雅可比多项式表示：$u_{n_r,l}^{\left|q\right|=1}(r) = \widetilde{N}_{n_r,l} (1 - e^{-2\alpha r})^{\widetilde{\delta}_l} (e^{-2\alpha r})^{w_l} P_{n_r}^{(2w_l, 2\widetilde{\delta}_l - 1)}(1 - 2e^{-2\alpha r})$，其中归一化常数 $\widetilde{N}_{n_r,l}$ 明确给出。
• 标准曼宁-罗森势（$|q|=1$）作为极限情形被恢复，其能级由超几何函数条件 ${}_2F_1(p + w - \delta + 1, p + w + \delta, 2p + 1; \frac{1}{2}) = 0$ 确定。
• 当 $V_1 \to -V_1$ 或 $V_2 \to -V_2$ 时，径向埃克特势与标准罗森-莫尔斯势也作为特例被恢复，相应的量子化条件与波函数以超几何函数形式导出。