[论文解读] Path integrals for a class of p-adic Schr"odinger equations

V. S. Varadarajan|ArXiv.org|Feb 21, 1997

advanced mathematical theories参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文为非阿基米德局部域上有限维向量空间上的 p-进薛定谔方程的虚时传播子发展了一种路径积分形式化。利用斯科罗霍德空间中右连续且左极限存在的 càdlàg 函数上的测度，推导出传播子 $ e^{-tH} $ 的费曼-卡茨型公式，将实变量路径积分推广至具有不连续路径和非阿基米德范数的 p-进设置。

ABSTRACT

The theme of doing quantum mechanics on all abelian groups goes back to Schwinger and Weyl. If the group is a vector space of finite dimension over a non-archimedean locally compact division ring, it is of interest to examine the structure of dynamical systems defined by Hamiltonians analogous to those encountered over the field of real numbers. In this letter a path integral formula for the imaginary time propagators of these Hamiltonians is derived.

研究动机与目标

• 将量子力学路径积分形式化从实向量空间推广至 p-进和非阿基米德局部域。
• 通过在斯科罗霍德空间上引入测度，解决 p-进量子力学中缺乏连续路径测度的问题。
• 在这一非阿基米德设置下，推导出虚时传播子 $ e^{-tH} $ 的费曼-卡茨型公式。
• 建立 p-进扩散过程在路径空间上的概率测度的存在性与连续性。
• 为 p-进量子系统中具有势能项的哈密顿量提供严格的路径积分表示。

提出的方法

• 使用在非阿基米德局部域 $ K $ 上有限维的除法代数 $ D $ 上的向量空间 $ W $，并配备一个非阿基米德范数 $ D $-范数。
• 将路径空间定义为 $ D([0,t]:W) $，即从 $[0,t]$ 到 $ W $ 的 cdlg 函数空间，具有右连续性及左极限的存在性。
• 通过条件期望和 Čentsov 准则，在路径空间上构造起始于 $ x $ 且终止于 $ y $ 的概率测度 $ \mathbf{P}^{t}_{x,y} $。
• 在 $ W $ 上应用傅里叶变换，使用非平凡加法特征标 $ \chi $，并利用 $ \chi $ 的导子 $ \delta $ 来定义哈尔测度和特征函数。
• 将核 $ K_{t,b}(x,y) $ 表示为路径空间上的积分：$ K_{t,b}(x,y) = \int_{\mathcal{D}_t} \exp\left(-\int_0^t V(\omega(s))ds\right) d\mathbf{P}^{t}_{x,y}(\omega) \cdot f_{t,b}(x-y) $，其中 $ f_{t,b} $ 为密度函数。
• 在一维情况下，通过关于 $ r \leq -m + \delta $ 的求和，显式计算出 $ f_{t,b}(\pi^{-m}) $，涉及指数衰减项 $ e^{-tq^{rb}} - e^{-tq^{(r+1)b}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为哈密顿量类似于实数情形的 p-进薛定谔算符构造路径积分形式化？
• RQ2 在缺乏连续路径的非阿基米德空间中，路径空间应如何定义？
• RQ3 在非阿基米德量子力学中，应采用何种正确的测度空间与随机过程，以得到虚时传播子 $ e^{-tH} $？
• RQ4 费曼-卡茨公式如何适应具有非阿基米德范数和不连续路径的 p-进域？
• RQ5 传播子核 $ K_{t,b}(x,y) $ 在路径积分和函数 $ f_{t,b} $ 下的显式形式为何？

主要发现

• 在斯科罗霍德空间 $ D([0,T]:W) $ 上，存在唯一一族概率测度 $ \mathbf{P}^{T,b}_{x,y} $，其关于 $ x $ 和 $ y $ 连续，表示起始于 $ x $ 并终止于 $ y $ 的 cdlg 过程的分布。
• 传播子 $ e^{-tH_{W,b}} $ 可表示为路径上的积分：$ K_{t,b}(x,y) = \int_{\mathcal{D}_t} \exp\left(-\int_0^t V(\omega(s))ds\right) d\mathbf{P}^{t}_{x,y}(\omega) \cdot f_{t,b}(x-y) $，其中 $ f_{t,b}(x) $ 仅依赖于 $ |x| $。
• 在一维情况下，$ f_{t,b}(\pi^{-m}) = q^{-\delta/2} \sum_{r \leq -m + \delta} q^r \left( e^{-tq^{rb}} - e^{-tq^{(r+1)b}} \right) $，给出了密度的显式公式。
• 核 $ K_{t,b}(x,y) $ 被证明关于 $ x $ 和 $ y $ 连续，且测度 $ \mathbf{P}^{t}_{x,y} $ 通过条件期望和 Čentsov 准则构造而成。
• 对于库仑问题，哈密顿量 $ H = \Delta_{D,b} - eM_{1/|x|} $ 定义在四维除法代数 $ D $ 上 $ K $ 的迹为零子空间上，当 $ \text{char}(K) \neq 2 $ 时，$ D $ 为四元数代数。
• 该构造通过四元数代数的忠实二维表示推广了实数情形，保持了在 $ D $ 中行列式为一的元素群 $ U $ 下的对称性。