[论文解读] Path integrals for classical-quantum dynamics

Jonathan Oppenheim, Zachary Weller-Davies|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文推导出一种适用于经典-量子（CQ）动力学的通用路径积分形式，确保完全正定性和迹保持性——这是物理一致性的关键要求。通过推广费曼的量子路径积分和随机路径积分，该研究构建了一种使用经典-量子作用量的混合路径积分，实现了CQ动力学的协变表述，尤其在哈密顿量关于动量为二次型时，可导出映射至CPTP主方程的配置空间路径积分。

ABSTRACT

Consistent dynamics which couples classical and quantum degrees of freedom exists. This dynamics is linear in the hybrid state, completely positive and trace preserving. Starting from completely positive classical-quantum master equations, we derive a general path integral representation for such dynamics in terms of a classical-quantum action, which includes the necessary and sufficient conditions for complete positivity and trace preservation. The path integral we study is a generalization of the Feynman path integral for quantum systems, and the stochastic path integral used to study classical stochastic processes, allowing for interaction between the classical and quantum systems. When the classical-quantum Hamiltonian is at most quadratic in the momenta we are able to derive a configuration space path integral, providing a map between master equations and covariant classical-quantum path integrals.

研究动机与目标

• 开发一种一致的路径积分表述，用于经典-量子系统，以尊重完全正定性和迹保持性（CPTP）条件，这些条件是物理动力学所必需的。
• 将费曼的量子路径积分与经典过程的随机路径积分统一于一个单一的混合形式中，用于CQ动力学。
• 在动量为二次型的情况下，建立CPTP主方程与协变经典-量子路径积分之间的直接对应关系。
• 使路径积分技术能够应用于量子控制、有效场论和半经典引力，其中时空和规范对称性必须被保留。
• 提供一个框架，用于通过明显CPTP的路径积分方法研究非马尔可夫性与约束CQ动力学（包括引力）

提出的方法

• 从Oppo（2018）和Oppo等（2022b）提出的最一般形式的CPTP经典-量子主方程出发，推导出经典-量子路径积分。
• 引入一种混合作用量泛函，它同时推广了量子费曼作用量和经典昂萨格-马赫吕普作用量，包含经典与量子自由度之间的相互作用项。
• 通过作用量中扩散核的结构，直接在路径积分中施加完全正定性和迹保持性的必要且充分条件。
• 对于哈密顿量在动量上为二次型的系统，推导出配置空间路径积分，从而实现主方程与路径积分之间的直接映射。
• 利用路径积分研究半经典引力，其中CQ相互作用项强制量子叠加态退相干为质量本征态，且与经典引力场相关联。
• 分析路径积分的约束与对称性结构，表明CQ演化导致四次型动量作用量，从而改变广义相对论的标准约束结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持完全正定性和迹保持性的前提下，为经典-量子动力学构建一个一致的路径积分表述？
• RQ2 统一量子与经典随机路径积分的混合框架中，经典-量子作用量的一般形式是什么？
• RQ3 在何种条件下路径积分可约化为配置空间表述，这与主方程形式有何关联？
• RQ4 CQ路径积分如何以与经典引力场相关联的方式强制量子叠加态的退相干，从而避免标准半经典引力的病态问题？
• RQ5 该路径积分表述能否推广至非马尔可夫性或微分同胚对称性破缺的理论？其对有效场论有何影响？

主要发现

• 本文推导出一种经典-量子动力学的通用路径积分表示，其形式明显满足CPTP性质，完全正定性和迹保持性的条件被直接编码于作用量扩散核的结构之中。
• 对于哈密顿量在动量上为二次型的经典-量子系统，路径积分可约化为配置空间表述，从而在CPTP主方程与路径积分之间建立了直接且协变的映射。
• 该路径积分表述正确地强制了量子叠加态向质量本征态的退相干，且经典路径与引力场源相关联，避免了标准半经典爱因斯坦方程的失效。
• 路径积分中引力的作用量包含一个CQ相互作用项，该相互作用项将量子态的退相干与经典度规演化相关联，从而产生比标准 $ G_{\mu\nu} = 8\pi G \langle T_{\mu\nu} \rangle $ 方程更健康的半经典动力学。
• 路径积分表述揭示出CQ动力学导致四次型动量作用量，从根本上改变了广义相对论的约束结构，并使向动量表象的转换变得复杂。
• 该框架允许研究非马尔可夫性CQ动力学和保持叶层结构的微分同胚不变性，暗示了通往具有受控对称性破缺的有效量子引力理论的可能路径。