[论文解读] Path integrals from classical momentum paths

John Hegseth|ArXiv.org|Feb 29, 2004

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过基于固定初末动量推导出一个经典作用量 R，提出了一种新颖的动量空间路径积分形式，类似于坐标空间中的标准作用量 S。研究表明，可基于经典动量路径使用 R 构造路径积分，从而在不依赖薛定谔方程的前提下，使自由粒子、自旋系统和简谐振子的计算更加简便。

ABSTRACT

The path integral formulation of quantum mechanics constructs the propagator by evaluating the action S for all classical paths in coordinate space. A corresponding momentum path integral may also be defined through Fourier transforms in the endpoints. Although these momentum path integrals are especially simple for several special cases, no one has, to my knowledge, ever formally constructed them from all classical paths in momentum space. I show that this is possible because there exists another classical mechanics based on an alternate classical action R. Hamilton's Canonical equations result from a variational principle in both S and R. S uses fixed beginning and ending spatial points while R uses fixed beginning and ending momentum points. This alternative action's classical mechanics also includes a Hamilton-Jacobi equation. I also present some important points concerning the beginning and ending conditions on the action necessary to apply a Canonical transformation. These properties explain the failure of the Canonical transformation in the phase space path integral. It follows that a path integral may be constructed from classical position paths using S in the coordinate representation or from classical momentum paths using R in the momentum representation. Several example calculations are presented that illustrate the simplifications and practical advantages made possible by this broader view of the path integral. In particular, the normalized amplitude for a free particle is found without using the Schrodinger equation, the internal spin degree of freedom is simply and naturally derived, and the simple harmonic oscillator is calculated.

研究动机与目标

• 建立基于经典动量路径的正式路径积分形式化，以补充标准的位置空间路径积分。
• 解决长期以来从所有经典动量轨迹构造动量路径积分的难题，该问题此前尚未得到正式解决。
• 阐明边界条件在正则变换中的作用，并解释其在相空间路径积分中失效的原因。
• 展示动量路径积分形式化在更简单求解量子力学问题方面的实际优势。
• 证明哈密顿-雅可比方程和正则方程可从新作用量 R 推导得出，正如它们从 S 推导一样。

提出的方法

• 定义一种替代的经典作用量 R，其依赖于固定的初末动量值，类似于基于固定空间端点的标准作用量 S。
• 对 R 应用变分原理，推导出动量空间中的哈密顿正则方程及相应的哈密顿-雅可比方程。
• 利用坐标与动量表象之间的傅里叶变换，将基于 S 的标准路径积分与基于 R 的新动量路径积分联系起来。
• 使用 R 作为路径积分中的指数，通过固定初末动量的所有经典动量路径积分构造传播子。
• 将动量路径积分应用于具体系统：自由粒子、自旋系统和简谐振子，与标准量子力学结果进行比较。
• 分析正则变换在相空间路径积分中失效的条件，将其与作用量 R 的边界条件不相容性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于变分原理，从经典动量路径构造出一致的路径积分形式？
• RQ2 作用量 R 在定义具有固定初末动量的经典力学中的作用是什么？它与标准作用量 S 的关系如何？
• RQ3 为何正则变换在相空间路径积分中会失效？边界条件如何影响这一现象？
• RQ4 动量路径积分形式化是否能在不引入薛定谔方程的前提下，得到正确的量子力学结果？
• RQ5 在自由粒子和简谐振子等特定量子系统中，使用动量路径积分有何实际优势？

主要发现

• 可基于固定的初末动量值定义一种新的经典作用量 R，从而在动量空间中导出一致的变分原理和正则方程。
• 基于 R 构造的动量路径积分成功地在不使用薛定谔方程的前提下，重现了自由粒子的正确传播子。
• 在动量路径积分框架内，自旋的内禀自由度被自然且简洁地推导出来。
• 利用动量路径积分计算了简谐振子的传播子，证明了其实际应用价值。
• 正则变换在相空间路径积分中失效的原因在于作用量 R 的边界条件与正则力学要求不相容。
• 动量表象路径积分为量子力学提供了更广泛、更对称的视角，补充了标准的坐标空间形式化。