[论文解读] Path properties and regularity of affine processes on general state spaces

Christa Cuchiero, Josef Teichmann|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 8, 2011

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文利用马氏半鞅理论，建立了广义状态空间上仿射过程的轨迹右连左极性（càdlàg）版本的存在性与正则性。该研究解决了长期悬而未决的公开问题，证明了随机连续性与仿射傅里叶-拉普拉斯性质可推出特征指数函数的可微性，从而在不依赖多面体或典范状态空间假设的前提下确认了正则性。

ABSTRACT

We provide a new proof for regularity of affine processes on general state spaces by methods from the theory of Markovian semimartingales. On the way to this result we also show that the definition of an affine process, namely as stochastically continuous time-homogeneous Markov process with exponential affine Fourier-Laplace transform, already implies the existence of a càdlàg version. This was one of the last open issues in the fundaments of affine processes.

研究动机与目标

• 解决广义状态空间上仿射过程是否存在càdlàg版本及其正则性的开放问题。
• 证明仿射性质（通过随机连续性与指数仿射傅里叶-拉普拉斯变换定义）可推出正则性，且无需假设典范或多面体状态空间。
• 基于马氏半鞅理论，提供一种独立于先前典范状态空间分类结果的新正则性证明。
• 证明仿射过程的半鞅特征在状态变量上为仿射，从而导出特征指数函数的广义里卡蒂方程。

提出的方法

• 利用马氏半鞅理论分析仿射过程的无穷小生成元与半鞅特征。
• 将莱维-金奇诺表示应用于半鞅特征，表明漂移、扩散与跳跃分量必须是状态变量的仿射函数。
• 通过在时间零处对半群方程求导，推导出特征指数函数Φ与ψ的广义里卡蒂方程。
• 利用拉普拉斯变换的连续性与半鞅特征的结构，建立Φ与ψ在零点的连续性与可微性。
• 将càdlàg版本的存在性作为半鞅特征正则性与状态空间结构的推论。
• 利用莱维-金奇诺表示的唯一性，证明特征对状态变量的依赖关系为仿射。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义状态空间上的仿射过程是否在由随机连续性与指数仿射傅里叶-拉普拉斯变换定义的仿射性质下，存在càdlàg版本？
• RQ2 在不假设典范或多面体状态空间的前提下，能否建立仿射过程的正则性，即特征指数函数Φ与ψ的可微性？
• RQ3 即使在非凸或非多面体状态空间（如秩约束的正定矩阵）上，仿射过程的半鞅特征是否仍为状态变量的仿射函数？
• RQ4 能否直接从半鞅结构出发，无需依赖先前的分类结果，推导出Φ与ψ的广义里卡蒂方程？
• RQ5 半鞅特征的仿射结构对在紧致或离散状态空间上构造仿射过程有何影响？

主要发现

• 广义状态空间上的仿射性质可推出càdlàg版本的存在性，解决了仿射过程理论基础中长期悬而未决的问题。
• 正则性——即特征指数函数Φ与ψ关于时间的可微性——可直接由随机连续性与仿射傅里叶-拉普拉斯性质推出。
• 半鞅特征（漂移、扩散与跳跃分量）是状态变量的仿射函数，从而导出Φ与ψ的广义里卡蒂方程。
• 广义里卡蒂方程通过在时间零处对半群方程求导得到，利用了Φ与ψ的连续性及莱维-金奇诺表示的结构。
• 结果适用于任意状态空间D ⊆ V，包括非凸集（如秩约束的正定矩阵）以及紧致或离散状态空间。
• 该证明独立于先前关于典范状态空间的分类结果，因此适用于非多面体状态空间，如S_d^+或由抛物边界定义的集合。