[论文解读] Pathologies on Mori fibre spaces in positive characteristic

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文证明，在特征 2 或 3 的情况下，Mori 纤维空间可能表现出在特征零下不存在的病态现象：具体而言，klt 总空间可能具有非 klt 的基空间，且可能存在相对非平凡的 torsion 线丛。通过在非完美域上的曲面以及展开构造，作者构造了明确的反例，表明在正特征下，极小模型程序的标准性质可能不成立。

ABSTRACT

We show that there exist Mori fibre spaces whose total spaces are klt but bases are not. We also construct Mori fibre spaces which have relatively non-trivial torsion line bundles.

研究动机与目标

• 识别并构造正特征下 Mori 纤维空间标准性质的反例。
• 证明从 klt 总空间导出的 Mori 纤维空间的基空间在正特征下未必是 klt。
• 证明在正特征下，Mori 纤维空间上存在相对非平凡的 torsion Cartier 除子。
• 将已知的在非完美域上 log del Pezzo 曲面的病态现象推广至高维 Mori 纤维空间。
• 质疑正特征下相对基点自由定理和数值平凡性结果的有效性。

提出的方法

• 通过非光滑的三次曲线和基域的非平凡扩张，在非完美域上构造 log del Pezzo 曲面。
• 使用雅可比判别法和 Serre 对偶性，分析 $Ω^1$-丛构造中的上同调障碍。
• 以修改形式应用相对 Kawamata–Shokurov 基点自由定理，分析除子的半正则性。
• 将构造出的曲面在离散赋值环上展开，以获得在曲线上定义的全局态射。
• 在基上通过 MMP 进行一系列翻转和除子收缩，使用正规化和 Frobenius 拉回。
• 利用 Keel 定理的半正则性及 $Ω^1$-丛的性质，确保最终态射满足 $ρ(V/W) = 1$ 且 $-K_V$ 为 $V$ 上的 ample 除子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，具有 klt 总空间的 Mori 纤维空间的基空间是否可能非 klt？
• RQ2 在正特征下，相对数值平凡的 Cartier 除子是否仍保持平凡，如同在特征零下一样？
• RQ3 在正特征下，Mori 纤维空间上是否可能存在非平凡的 $p$-torsion 线丛？
• RQ4 非完美域和纯不可分扩张在构造此类病态现象中起什么作用？
• RQ5 标准极小模型程序结果在正特征下在多大程度上失效？

主要发现

• 存在一个代数闭域上特征为 2 或 3 的 4 维 $Ω$-因子 klt 代数簇 $V$，其映射到一个 3 维 $Ω$-因子代数簇 $W$，其中 $W$ 不是 klt，且满足所有标准 Mori 纤维空间条件。
• 在特征为 2 或 3 的域上，一个 3 维 $Ω$-因子 klt 代数簇 $V$ 存在一个态射 $f: V \to W$，其中 $W$ 是光滑曲线，满足 $-K_V$ 关于 $f$ 为 ample，$ρ(V/W) = 1$，且存在 $V$ 上的 Cartier 除子 $D$，使得 $D \not\backsim_f 0$ 但 $pD \backsim_f 0$。
• 在第一个例子中，基空间 $W$ 不是 klt，尽管 $V$ 是 $Ω$-因子且 klt，这表明在正特征下，Mori 纤维空间的基空间未必继承 klt 性质。
• 在光滑曲线基 $W$ 上，$V$ 上存在非平凡的 $p$-torsion 除子，表明 [KMM87] 中的相对数值平凡性结果在正特征下不成立。
• 该构造依赖于一个在非完美域上、具有 $π^1$-丛结构的曲面 $S$，其映射到一条满足 $K_C \backsim 0$ 的曲线 $C$，其中 $C$ 不光滑但 $S$ 是正规且 log del Pezzo 的。
• 通过非平凡的 $p$-torsion 除子以及在纯不可分扩张下拉回后上同调的非零性，证明了正特征下相对基点自由定理的失效。