[论文解读] Paths with singularities in functional integrals of quantum field theory

V. V. Belokurov, E. T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2011

advanced mathematical theories参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文表明，在一维 $φ^4$ 量子场论中，自由场论中对连续函数的泛函积分等价于相互作用场论中对不连续、奇异函数的泛函积分。关键结果是，为了保持归一化，相互作用理论的测度必须包含奇异路径，揭示了量子场论路径积分对所选函数空间的极度依赖性。

ABSTRACT

In the toy model ($ ϕ^{4}$-interacting quantum field theory in one-dimensional "Euclidean" space-time) we prove that the functional integrals of the free field theory evaluated over the space of continuous functions are equal to the functional integrals of the interacting field theory evaluated over a set of spaces containing the spaces of discontinuous functions.

研究动机与目标

• 研究函数空间的选择如何影响量子场论中路径积分的影响。
• 阐明不连续和奇异函数在保持相互作用场论中归一化时的作用。
• 证明标准的维纳测度在连续函数上的定义不足以适用于相互作用理论。
• 表明在 $φ^4$ 模型中，具有 $(t - t_j^*)^{-1}$ 类型奇异性的奇异路径对于一致的泛函积分是必要的。
• 通过引入在后者中产生奇异性的变换，建立场 $χ(t)$ 与 $φ(t)$ 之间的一一对应关系。

提出的方法

• 使用变换 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^2(\tau) d\tau$ 将自由场论与相互作用场论联系起来。
• 应用伊藤微积分表达变换下作用量的变化，识别出涉及 $\varphi^3(1) - \varphi^3(0)$ 和 $\int \varphi(t) dt$ 的校正项。
• 推导差值 $\mu(t) = \chi(t) - \varphi(t)$ 的微分方程 $\dot{\mu}(t) = (\mu(t) - \chi(t))^2$，揭示奇异性的出现。
• 通过将 $\mu(t)$ 反演为 $\nu(t) = 1/\mu(t)$，分析 $\varphi(t)$ 在奇异点附近的行为，揭示在 $t_j^*$ 附近 $\varphi(t) \sim (t - t_j^*)^{-1}$。
• 定义函数空间 $X = \bigcup_{n=0}^\infty X_n$，其中 $X_0 = C[0,1]$，且 $X_n$ 包含具有 $n$ 个形如 $(t - t_j^*)^{-1}$ 的奇异性的函数。
• 证明标准维纳测度 $\exp(-\frac{1}{2}\int \dot{\varphi}^2 dt)$ 在 $n \geq 1$ 时不是 $X_n$ 上的有效测度，但包含 $\varphi^4$ 和校正项的完整相互作用作用量是。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数空间的选择——连续与不连续——如何影响自由场论与相互作用场论路径积分之间的等价性？
• RQ2 为使在变换至 $\chi(t)$ 时泛函积分保持归一化，场 $\varphi(t)$ 必须表现出何种奇异行为？
• RQ3 为何标准维纳测度在相互作用理论中包含奇异路径的空间上失效？
• RQ4 当 $\varphi$ 具有奇异点时，变换 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^2(\tau) d\tau$ 是否可逆，从而在 $\chi$ 与 $\varphi$ 之间建立一一对应？
• RQ5 为保持归一化，相互作用路径积分必须在何种结构的函数空间 $X$ 上定义？

主要发现

• 在 $C[0,1]$ 上对自由场的泛函积分等于在包含不连续、奇异函数的更大空间 $X$ 上对相互作用积分的等价形式。
• 空间 $X$ 可分解为 $X = X_0 \cup X_1 \cup \cdots$，其中 $X_n$ 由具有 $n$ 个形如 $\varphi(t) \sim (t - t_j^*)^{-1}$ 的奇异性的函数组成。
• 标准维纳测度 $\exp(-\frac{1}{2}\int \dot{\varphi}^2 dt)\, d\varphi$ 在 $n \geq 1$ 时不是 $X_n$ 上的有效测度，但包含 $\varphi^4$ 和校正项的完整相互作用作用量是。
• 归一化条件 $\int_{C[0,1]} \exp(-\frac{1}{2}\int \dot{\chi}^2 dt)\, d\chi = 1$ 仅在相互作用积分在 $X$ 上而非 $C[0,1]$ 上计算时才被保持，这是由于包含了奇异路径。
• 变换 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^2(\tau) d\tau$ 在孤立点 $t_j^*$ 处诱导了 $\varphi(t)$ 的奇异点，其中 $\varphi(t) \sim (t - t_j^*)^{-1}$。
• 对于 $k > 2$，变换 $\chi(t) = \varphi(t) + \int_0^t \varphi^k(\tau) d\tau$ 不再产生一一对应，表明二次非线性在映射中具有特殊作用。