[论文解读] Pathwise asymptotics for Volterra type stochastic volatility models

M. Cellupica, Barbara Pacchiarotti|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文针对由高斯型伏尔泰拉过程驱动的伏尔泰拉型随机波动率模型中的对数价格过程，建立了路径上的大偏差原理。利用查加尼的联合与边缘分布大偏差定理，推导出速度为 $\varepsilon_n^{-2}$ 的样本路径大偏差原理，将先前结果推广至无限维设置，并允许随机波动率与漂移项相关。

ABSTRACT

We study stochastic volatility models in which the volatility process is a positive continuous function of a continuous Volterra stochastic process. We state some pathwise large deviation principles for the scaled log-price.

研究动机与目标

• 将大偏差原理推广至具有广义高斯伏尔泰拉过程的无限维伏尔泰拉型随机波动率模型。
• 在对漂移与波动率函数的正则性假设最小化的前提下，为对数价格过程建立小噪声路径大偏差原理。
• 将此前福尔德、张与古利萨什维利的结果推广至具有相关随机波动率与非零漂移的模型。
• 提出一种基于查加尼定理的新型分析框架，避免依赖弗雷德林-温茨勒理论。
• 通过协方差结构分析，展示该方法在分数阶模型（包括分数阶奥恩斯坦-乌伦贝克过程）中的适用性。

提出的方法

• 使用带漂移 $\mu(\hat{B}_t)$ 与波动率 $\sigma(\hat{B}_t)$ 的随机微分方程形式化资产价格动态，其中 $\hat{B}_t$ 为伏尔泰拉高斯过程。
• 对波动率与伏尔泰拉过程引入小噪声缩放 $\varepsilon_n$，得到缩放后的对数价格 $Z_t^n = \log S_t^n$。
• 应用查加尼定理于联合与边缘分布的大偏差，推导缩放后对数价格过程的速率函数。
• 建立近似族 $\hat{B}^n$ 的指数紧致性，以确保大偏差原理的收敛性。
• 采用两步逼近法：首先，定义序列 $Z^{n,m}$，其基于 $\hat{B}^n$ 的分段常数逼近；随后证明 $Z^{n,m}$ 与 $Z^n$ 的指数等价性。
• 推导出显式的良好速率函数 $I_Z(x)$，其包含 $H^1_0[0,T]$ 范数与依赖于路径导数及波动率结构的二次变差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有广义高斯伏尔泰拉过程的伏尔泰拉型随机波动率模型中的对数价格过程建立路径大偏差原理？
• RQ2 非零漂移项与相关随机波动率的引入如何影响大偏差速率函数？
• RQ3 查加尼定理能否作为弗雷德林-温茨勒理论在无限维设置下推导大偏差的可行替代方法？
• RQ4 核函数 $K(t,s)$ 与函数 $\mu$、$\sigma$ 需满足何种条件，才能保证大偏差原理的有效性？
• RQ5 分数阶模型（如分数阶奥恩斯坦-乌伦贝克过程）如何融入此框架？其渐近行为如何？

主要发现

• 为缩放后的对数价格过程 $Z_t^n$ 建立了路径大偏差原理，速度为 $\varepsilon_n^{-2}$，适用于连续的 $\mu$ 与正的连续 $\sigma$。
• 良好速率函数为 $I_Z(x) = \inf_{f \in H_0^1[0,T]} \left[ \frac{1}{2}\|f\|_{H_0^1}^2 + \frac{1}{2}\int_0^T \left( \frac{\dot{x}(t) - \mu(\hat{f}(t)) - \rho \dot{\Psi}(f,\hat{f})(t)}{\bar{\rho} \sigma(\hat{f}(t))} \right)^2 dt \right] $，当 $x \in H_0^1[0,T]$ 时成立，否则为 $+\infty$。
• 该结果在较弱正则性假设下，将福尔德与张及古利萨什维利的先前工作推广至具有相关波动率与漂移的模型。
• 伏尔泰拉过程 $\hat{B}^n$ 的指数紧致性确保了即使在无限维设置下，大偏差原理依然有效。
• 对于分数阶奥恩斯坦-乌伦贝克过程，大偏差速度为 $\varepsilon_n^{-2H}$，速率函数保持相同结构，其中 $\hat{f}(t) = \int_0^t K_H(t,s) \dot{f}(s) ds$。
• 该方法避免使用弗雷德林-温茨勒理论，转而依赖查加尼定理，从而可更直接地推导联合与边缘分布的速率函数。