[论文解读] Pathwise Holder convergence of the implicit Euler scheme for semi-linear SPDEs with multiplicative noise

Sonja Cox, J. M. A. M. van Neerven|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文针对UMD Banach空间中带有乘性噪声的半线性随机偏微分方程（SPDEs）建立了隐式欧拉格式的最优路径依 Hölder 收敛速率。通过证明矩收敛性并应用柯尔莫哥洛夫与波雷尔-坎泰利论证，该文在漂移项与扩散系数满足Lipschitz连续性和正则性条件时，推导出几乎必然的Hölder收敛性，且收敛速率最优；并通过局部化方法将结果推广至局部Lipschitz情形。

ABSTRACT

In this article we prove pathwise Holder convergence with optimal rates of the implicit Euler scheme for semi-linear parabolic stochastic differential equations with multiplicative noise, set in a UMD Banach space X. We assume the non-linearities to satisfy appropriate (local) Lipschitz conditions. The convergence results are obtained by first proving corresponding results for the splitting scheme. The results are applied to a class of second order parabolic SPDEs driven by multiplicative space-time white noise.

研究动机与目标

• 为求解带有乘性噪声的半线性SPDEs的数值格式建立最优路径依Hölder收敛速率。
• 通过局部化论证，将收敛结果从全局Lipschitz系数推广至局部Lipschitz系数。
• 在加权Hölder范数下证明矩收敛性，并利用概率工具推导出几乎必然的路径依收敛性。
• 将抽象结果应用于由时空白噪声驱动的二阶抛物型SPDEs。
• 将收敛性分析推广至具有Pisier性质(\alpha)的UMD Banach空间，包括L^p空间和希尔伯特空间。

提出的方法

• 通过解析C0半群生成元A的预解式形式定义隐式欧拉格式。
• 作为中间步骤应用分裂格式，利用Trotter-Kato公式将预解式与半群联系起来。
• 通过先验估计与随机积分理论证明离散Hölder范数下的矩收敛性。
• 利用柯尔莫哥洛夫准则与波雷尔-坎泰利引理，将矩收敛性提升为几乎必然的路径依Hölder收敛性。
• 利用γ-径向化算子与UMD空间中的随机积分控制噪声项。
• 采用局部化论证，将结果从全局Lipschitz系数F与G推广至局部Lipschitz系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带有乘性噪声的半线性SPDEs背景下，隐式欧拉格式的最优路径依Hölder收敛速率是什么？
• RQ2 如何利用离散Hölder范数下的矩收敛性推导出几乎必然的路径依收敛性？
• RQ3 对系数F与G的正则性与可积性条件需满足何种要求，才能确保在UMD Banach空间中收敛？
• RQ4 收敛结果能否从全局Lipschitz系数推广至局部Lipschitz系数？
• RQ5 Pisier性质(\alpha)以及UMD空间的类型在决定收敛速率方面起什么作用？

主要发现

• 在F与G满足适当的正则性与可积性条件时，隐式欧拉格式实现了最优路径依Hölder收敛，收敛速率为n^{-\delta}，其中δ < 1/2。
• 收敛性在离散Hölder范数\| \cdot \|_{c(n)^\gamma}下建立，且最优指数γ < 1/2。
• 对于全局Lipschitz系数，误差的p阶矩满足E\|u - v^{(n)}\|_{c(n)^\gamma}^p \leq C n^{-\delta p} (1 + \|x_0\|_{L^p(\Omega; X^\eta)}^p)。
• 通过波雷尔-坎泰利论证获得几乎必然的路径依收敛性，对几乎每个ω，收敛速率为n^{-\delta}。
• 通过局部化论证，结果可推广至局部Lipschitz系数，且保持相同的收敛速率。
• 该框架适用于由时空白噪声驱动的二阶抛物型SPDEs，尤其当X = L^p(D)且H = L^2(D)时。