[论文解读] Pathwise stochastic integrals for model free finance

Nicolas Perkowski, David J. Pr omel|RePEc: Research Papers in Economics|Nov 24, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文在连续时间金融数学中提出了两种无需概率假设的免模型随机积分框架。第一个框架利用Vovk的外测度所诱导的拓扑（最小超对冲价格），实现了伊藤积分在右连左极适应过程上的连续延拓。第二个框架借助控制粗糙路径理论，证明了典型价格路径自然具备伊藤粗糙路径结构，且粗糙路径积分可作为非预测Riemann和的极限而出现——在保持金融直觉的同时，提供了巴拿赫空间结构。

ABSTRACT

We present two different approaches to stochastic integration in frictionless model free financial mathematics. The first one is in the spirit of Itô's integral and based on a certain topology which is induced by the outer measure corresponding to the minimal superhedging price. The second one is based on the controlled rough path integral. We prove that every "typical price path" has a naturally associated Itô rough path, and justify the application of the controlled rough path integral in finance by showing that it is the limit of non-anticipating Riemann sums, a new result in itself. Compared to the first approach, rough paths have the disadvantage of severely restricting the space of integrands, but the advantage of being a Banach space theory. Both approaches are based entirely on financial arguments and do not require any probabilistic structure.

研究动机与目标

• 在无需假设价格路径具有概率结构或半鞅结构的前提下，建立摩擦性、免模型金融数学中的严格随机积分理论。
• 通过构建更一般且连续的积分框架，克服先前方法的局限性（如有界变差或二次变差的限制）。
• 调和粗糙路径理论的巴拿赫空间结构与非预测交易策略的金融可解释性。
• 通过证明控制粗糙路径积分是非预测Riemann和的极限，从而恢复其金融合理性，为在金融中使用控制粗糙路径积分提供理论依据。

提出的方法

• 利用Vovk的游戏论外测度（定义为路径式最小超对冲价格）在连续路径空间上诱导一种拓扑。
• 在该拓扑下，将简单函数积分的连续延拓定义为免模型伊藤积分，适用于右连左极适应过程。
• 证明每个典型价格路径（按Vovk的意义）自然携带一个伊藤粗糙路径，从而使得控制粗糙路径理论可在免模型金融中应用。
• 证明在弱正则性条件下，控制粗糙路径积分是非预测Riemann和的极限，避免使用补偿和。
• 应用Davie的判别准则，证明在Hölder正则性和面积正则性条件下，标准Riemann和收敛于粗糙路径积分。
• 证明粗糙路径积分推广并统一了先前方法：有界变差、Young以及Föllmer的路径式伊藤积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设价格路径具有概率结构或半鞅结构的前提下，构造出连续的、免模型的随机积分？
• RQ2 通常通过补偿Riemann和定义的控制粗糙路径积分，是否可解释为非预测Riemann和的极限？
• RQ3 在金融拓扑下，免模型伊藤积分能否被连续延拓至右连左极适应积分核？
• RQ4 在免模型设定下，Föllmer的路径式伊藤积分是否为控制粗糙路径积分的一个特例？
• RQ5 能否通过证明非预测Riemann和在无补偿情况下的收敛性，严格证明粗糙路径积分在金融中的合理性？

主要发现

• 免模型伊藤积分在由Vovk外测度诱导的拓扑下具有连续性，从而可连续延拓至右连左极适应积分核。
• 在Vovk意义下的每个典型价格路径自然具备伊藤粗糙路径结构，使得控制粗糙路径理论可在免模型金融中应用。
• 在弱正则性条件下，控制粗糙路径积分被证明是非预测Riemann和的极限，从而解决了其使用中的关键哲学争议。
• 粗糙路径积分统一并推广了先前方法：有界变差、Young以及Föllmer的路径式伊藤积分。
• Davie的判别准则表明，在Hölder正则性和面积正则性条件下，粗糙路径积分收敛于标准Riemann和，从而无需补偿即可验证其有效性。
• 本文首次提供了严格证明：在免模型语境下，Föllmer的路径式伊藤积分是控制粗糙路径积分的一个特例。