[论文解读] Pathwise Taylor Expansions for Itô Random Fields

Rainer Buckdahn, Ingo Bulla+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文为扩散项同时依赖于解及其空间导数的伊tô型随机场，提出了一种通用的路径wise随机泰勒展开。该展开在任意随机时空点 $(\tau,\xi)$ 处成立，且例外零集不依赖于 $(\tau,\xi)$ 的选择，从而为具有梯度依赖扩散系数的完全非线性SPDEs提供了新的随机粘性解定义。

ABSTRACT

In this paper we study the {\it pathwise stochastic Taylor expansion}, in the sense of our previous work \cite{Buckdahn_Ma_02}, for a class of Itô-type random fields in which the diffusion part is allowed to contain both the random field itself and its spatial derivatives. Random fields of such an "self-exciting" type particularly contains the fully nonlinear stochastic PDEs of curvature driven diffusion, as well as certain stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equations. We introduce the new notion of "$n$-fold" derivatives of a random field, as a fundamental device to cope with the special self-exciting nature. Unlike our previous work \cite{Buckdahn_Ma_02}, our new expansion can be defined around any random time-space point $( ,ξ)$, where the temporal component $ $ does not even have to be a stopping time. Moreover, the exceptional null set is independent of the choice of the random point $( ,ξ)$. As an application, we show how this new form of pathwise Taylor expansion could lead to a different treatment of the stochastic characteristics for a class of fully nonlinear SPDEs whose diffusion term involves both the solution and its gradient, and hence lead to a definition of the {\it stochastic viscosity solution} for such SPDEs, which is new in the literature.

研究动机与目标

• 将路径wise随机泰勒展开扩展至扩散项依赖于解及其空间导数的伊tô随机场。
• 消除展开点 $(\tau,\xi)$ 必须为停时的限制，允许任意随机点。
• 确保展开中的例外零集不依赖于 $(\tau,\xi)$ 的选择，从而增强展开的普遍性与适用性。
• 将新展开应用于定义并分析具有梯度依赖扩散系数的完全非线性SPDEs的随机粘性解。
• 克服先前Doss-Sussmann变换在非适应随机微积分设定下的局限性。

提出的方法

• 引入随机场的 $n$-重导数概念，以处理扩散项的自激性质。
• 在任意随机点 $(\tau,\xi)$ 处构造路径wise泰勒展开，该点不一定是停时。
• 使用对所有随机点均适用的通用零集，确保展开对所有此类点几乎必然成立。
• 通过与测试场 $\varphi$ 相关的随机流定义过程 $\phi_t$，实现在随机特征线上的求值。
• 将展开应用于 $u(t, \phi_t(x, D\psi(t,x)))$，并利用所得展开推导出粘性次解性质的条件。
• 通过比较随机点 $(\tau,\xi)$ 处的 $u$ 与 $\varphi$，并利用展开的余项，证明解满足随机粘性次解条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为扩散项依赖于解及其空间导数的伊tô随机场构造路径wise随机泰勒展开？
• RQ2 当展开点 $(\tau,\xi)$ 为任意随机时空对（不一定是停时）时，展开是否仍然有效？
• RQ3 是否可以构造一个对所有随机展开点均适用的单一零集，以确保展开的普遍性？
• RQ4 如何利用这种通用展开来定义并分析具有梯度依赖扩散系数的完全非线性SPDEs的随机粘性解？
• RQ5 新展开是否能克服Doss-Sussmann变换在非适应随机微积分中的局限性？

主要发现

• 本文建立了适用于伊tô随机场的通用路径wise随机泰勒展开，其在任意随机时空点 $(\tau,\xi)$ 处成立，且例外零集不依赖于 $(\tau,\xi)$ 的选择。
• 该展开通过随机场的 $n$-重导数构造，能够有效处理扩散系数中递归的自激结构。
• 该方法使得能够为扩散项同时依赖于解及其梯度的完全非线性SPDEs定义随机粘性解，这是文献中的新贡献。
• 通过展开证明了经典解 $u$ 是随机粘性次解，即在左极大值集上几乎必然有 $f(\xi, (u,Du,D^2u)(\tau,\xi)) - \theta(\tau,\xi) \geq 0$。
• 相同论证适用于上解情形，证明 $u$ 是随机粘性解，从而确立了针对梯度依赖SPDEs的新解概念。
• 该方法避免了在自激情形下失效的Doss-Sussmann变换，转而采用具有通用零集的新型路径wise展开。