[论文解读] Pathwise Taylor Expansions for Random Fields on Multiple Dimensional Paths

Rainer Buckdahn, Jin Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文通过受Dupire功能性Itô微积分启发的新型路径导数框架，为由多维布朗运动驱动的随机场建立了路径式泰勒展开。该工作将先前结果推广至任意维度，并允许向前与向后时间增量，其路径式余项估计几乎必然成立，从而为前向路径相关SPDE的黏性解理论提供了新基础。

ABSTRACT

In this paper we establish the pathwise Taylor expansions for random fields that are "regular" in the spirit of Dupire's path-derivatives \cite{Dupire}. Our result is motivated by but extends the recent result of Buckdahn-Bulla-Ma \cite{BBM}, when translated into the language of pathwise calculus. We show that with such a language the pathwise Taylor expansion can be naturally carried out to any order and for any dimension, and it coincides with the existing results when reduced to these special settings. More importantly, the expansion can be both "forward" and "backward" (i.e., the temporal increments can be both positive and negative), and the remainder is estimated in a pathwise manner. This result will be the main building block for our new notion of viscosity solution to forward path-dependent PDEs corresponding to (forward) stochastic PDEs in our accompanying paper \cite{BMZ}.

研究动机与目标

• 将随机场的路径式泰勒展开推广至多维路径及一般空间维度。
• 构建一种路径导数框架，以简化Itô型随机场的分析，并实现随机微积分的直观解释。
• 建立对正负时间增量（向前与向后）均有效的展开，克服以往研究仅限于一维布朗运动的局限。
• 提供几乎必然成立的路径式余项估计，优于以往文献中基于均方估计的方法。
• 为前向路径相关SPDE的黏性解新概念奠定基础，相关应用见附录工作。

提出的方法

• 在Dupire功能性Itô微积分的精神下，引入一种新的路径导数概念，并应用于布朗运动的路径空间。
• 使用路径式Itô-Ventzell公式作为时间与路径导数的链式法则，简化随机微积分表达式。
• 通过路径导数定义泰勒展开的系数：∂ₜu, ∂ᵤu, ∂ᵤᵤu, ∂ₓu, ∂ₓᵤu, ∂ₓₓu。
• 对SPDE解应用功能性Itô公式，推导出系数关于f、g及其导数的显式表达式。
• 通过Kolmogorov型连续性准则建立路径式余项估计，确保对几乎所有ω，(t,x)上局部一致。
• 证明余项Rα,m在所有p > 1下关于Lᵖ范数一致有界，确保展开式的可积性与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径式泰勒展开能否推广至由多维布朗运动驱动的随机场？
• RQ2 如何构建几乎必然成立的路径式余项估计，而非仅在期望或概率意义下成立？
• RQ3 路径导数在简化高维随机泰勒展开结构中起到何种作用？
• RQ4 能否在路径式意义上对向前与向后时间增量一致定义该展开？
• RQ5 展开的系数如何与SPDE系数f和g的导数相关联？

主要发现

• 路径式泰勒展开适用于任意维数的布朗运动，扩展了以往仅限于一维布朗运动的研究结果。
• 该展开对向前与向后时间增量均有效，系数路径式几乎必然定义。
• 余项Rα,m在所有p > 1下满足上确界范数可积性，确保强路径式控制。
• 展开中的系数（a,b,c,p,q,X）由路径导数显式给出：a = ∂ₜu, b = ∂ᵤu, c = ∂ᵤᵤu, p = ∂ₓu, q = ∂ₓᵤu, X = ∂ₓₓu。
• 当限制于一维情形或确定性情况时，该展开与经典结果一致。
• 路径式Itô-Ventzell公式使得随机微积分可被清晰、直观地解释为时间与路径变量的链式法则。