[论文解读] Pathwise unique solutions and stochastic averaging for mixed stochastic partial differential equations driven by fractional Brownian motion and Brownian motion

Bin Pei, Yuzuru Inahama+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文建立了由分数布朗运动（fBm）和标准布朗运动驱动的混合随机偏微分方程（SPDEs）的路径唯一解以及随机平均化原理，其中分数布朗运动的赫斯特参数 $ H > 1/2 $。通过结合广义斯特尔吉斯积分的路径方法、停时技术以及fBm的逼近方法，作者证明了解的存在性与路径唯一性，并推导出慢分量的极限过程，该过程依赖于快分量扩散的不变测度，且在均方意义下成立。

ABSTRACT

This paper is devoted to a system of stochastic partial differential equations (SPDEs) that have a slow component driven by fractional Brownian motion (fBm) with the Hurst parameter $H >1/2$ and a fast component driven by fast-varying diffusion. It improves previous work in two aspects: Firstly, using a stopping time technique and an approximation of the fBm, we prove an existence and uniqueness theorem for a class of mixed SPDEs driven by both fBm and Brownian motion; Secondly, an averaging principle in the mean square sense for SPDEs driven by fBm subject to an additional fast-varying diffusion process is established. To carry out these improvements, we combine the pathwise approach based on the generalized Stieltjes integration theory with the Itô stochastic calculus. Then, we obtain a desired limit process of the slow component which strongly relies on an invariant measure of the fast-varying diffusion process.

研究动机与目标

• 建立由赫斯特参数 $ H > 1/2 $ 的分数布朗运动（fBm）与标准布朗运动共同驱动的混合SPDE的路径解的存在性与唯一性。
• 为慢分量由fBm驱动、快分量由快速变化的扩散过程驱动的SPDE，发展随机平均化原理。
• 克服现有方法在无限维空间中处理多重噪声或非加性分数噪声时的局限性。
• 统一路径积分技术与伊藤随机微积分，以处理混合噪声SPDE。
• 推导出依赖于快分量动力学不变测度的慢分量极限SPDE。

提出的方法

• 采用基于广义斯特尔吉斯积分理论的路径方法，以处理非半鞅的fBm分量。
• 利用停时技术与fBm的逼近方法，建立混合SPDE解的存在性与路径唯一性。
• 应用快分量扩散过程的不变测度理论，推导慢分量的极限行为。
• 在SPDE框架中，将伊藤随机微积分用于布朗运动部分，同时对fBm部分采用路径积分方法。
• 利用半群 $ S_t $ 的压缩性质与霍尔德不等式，估计平均化误差中的交叉项。
• 通过快过程的马氏性质，定义条件数学期望结构，以在 $ L^2 $ 意义下控制平均化误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限维希尔伯特空间中，针对赫斯特参数 $ H > 1/2 $ 的fBm与标准布朗运动共同驱动的混合SPDE，建立路径唯一解？
• RQ2 对于慢分量由fBm驱动、快分量由快速变化的扩散过程驱动的SPDE，其随机平均化原理是否成立？
• RQ3 如何利用快分量动力学的不变测度来表征慢分量在均方意义下的极限行为？
• RQ4 将现有fBm驱动SDE的解存在性与唯一性结果推广至具有混合噪声的无限维SPDE时，需要哪些技术修正？
• RQ5 路径积分与伊藤微积分的结合能否为具有非半鞅噪声的混合SPDE提供一致的理论框架？

主要发现

• 本文在非线性系数 $ f, ho, g $ 满足适当条件时，通过停时技术与fBm逼近，证明了混合SPDE（1.1）解的存在性与路径唯一性。
• 在均方意义下，建立了慢分量的随机平均化原理，表明其收敛于一个由fBm与布朗运动驱动的极限SPDE。
• 极限SPDE依赖于快分量扩散过程的不变测度，从而确保平均化系数的收敛性。
• 平均化原理的误差被控制在 $ C(1 + |X^ u_{k au}|^2 + | ilde{Y}^ u_{k au}|^2) e^{-\eta(s - \tau)/2} $ 范围内，表明时间差上的指数衰减。
• 该方法成功将先前结果推广至具有多重噪声与非加性fBm的无限维SPDE，克服了以往方法的局限性。
• 慢分量的收敛性在 $ L^2 $ 意义下被证明，其极限过程由快过程不变测度导出的平均漂移与扩散系数所表征。