[论文解读] Pattern avoidance in circular permutations

David Callan|ArXiv.org|Oct 1, 2002

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文为避免单一四字母模式的 $[n]$ 上的循环排列数量提供了显式公式，具体为 1324、1342 和 1234。基于 $n-1$ 的位置和递推关系进行结构分析，推导出闭式解：1324 为 $F_{2n-3}$，1342 为 $2^{n-1} - (n-1)$，1234 为 $2^n + 1 - 2n - \binom{n}{3}$，其增长速率分别为 $\phi^2 \approx 2.618$、$2$ 和 $2$。

ABSTRACT

Circular permutations on {1,2,...,n} that avoid a given pattern correspond to ordinary (linear) permutations that end with n and avoid all cyclic rotations of the pattern. Three letter patterns are all but unavoidable in circular permutations and here we give explicit formulas for the number of circular permutations that avoid one four letter pattern. In the three essentially distinct cases, the counts are as follows: the Fibonacci number F_{2n-3} for the pattern 1324, 2^{n-1}-(n-1) for 1342, and 2^{n}+1-2n-{n}choose{3} for 1234.

研究动机与目标

• 确定 $[n]$ 上避免单一四字母模式的循环排列的确切数量。
• 推导出避免 1324、1342 和 1234 的此类排列数量的闭式表达式。
• 分析模式避免在循环排列中施加的结构约束，尤其关注 $n-1$ 的位置。
• 建立递推关系，并与斐波那契数列和二进制序列等已知组合对象建立双射联系。

提出的方法

• 基于 $n-1$ 在循环排列中的位置 $k$ 进行结构分解，分为 $k=1$、$k=2$ 和 $k \geq 3$ 三种情况。
• 使用双射：对于避免 1324 的排列，建立与避免连续两个 1 的 0-1 序列之间的双射，从而与斐波那契数列关联。
• 对于避免 1342 的排列，使用具有特定约束的 0-1 序列进行递归构造，导出涉及 $2^{n-2} - 1$ 的递推关系。
• 对于避免 1234 的排列，通过对具有递减顺序约束的子串中的字母集合进行二项式系数计数。
• 通过删除 $n$ 并调整标签，将循环排列约化为更小的实例，同时保持模式避免性质。
• 使用组合恒等式对各类配置求和，推导出闭式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 避免 1324 模式的 $[n]$ 上的循环排列的确切数量是多少？
• RQ2 避免 1342 模式的 $[n]$ 上的循环排列有多少个？其计数背后的结构特征是什么？
• RQ3 避免 1234 模式的 $[n]$ 上的循环排列有多少个？其排列结构如何限制该计数？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，1324-、1342- 和 1234-避免循环排列的计数分别呈现出怎样的增长常数？

主要发现

• 避免 1324 的 $[n]$ 上的循环排列数量为斐波那契数 $F_{2n-3}$，其增长速率为 $\phi^2 \approx 2.618$。
• 避免 1342 的 $[n]$ 上的循环排列数量为 $2^{n-1} - (n-1)$，其指数增长速率为 $2$。
• 避免 1234 的 $[n]$ 上的循环排列数量为 $2^n + 1 - 2n - \binom{n}{3}$，其增长速率为 $2$。
• 对于避免 1324 的排列，建立了与长度为 $2n-3$ 且避免连续两个 1 并以 0 开头的 0-1 序列之间的双射，从而确认了斐波那契数计数。
• 对于避免 1342 的排列，通过长度为 $n-1$ 且不包含恰好一个 1 的 0-1 序列，构造了递归双射，从而得出 $2^{n-1} - (n-1)$ 的公式。
• 分析表明，$w_1$、$w_2$ 和 $w_3$ 子串的结构——尤其是它们的顺序和区间性质——决定了排列是否避免给定的模式。