[论文解读] Pattern avoidance in labelled trees

Vladimir Dotsenko|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2011

semigroups and automata theory被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于平面标号根树中模式避免的新型组合框架，将经典排列和词中的连续模式避免推广至树的设定。它建立了树模式避免与混洗操作代数之间的联系，表明避免一组模式的树的计数对应于具有单项关系的操作代数中分量的维数计算，并证明在特定条件下，此类模式的生成函数是微分代数的。

ABSTRACT

We discuss a new notion of pattern avoidance motivated by the operad theory: pattern avoidance in planar labelled trees. It is a generalisation of various types of consecutive pattern avoidance studied before: consecutive patterns in words, permutations, coloured permutations etc. The notion of Wilf equivalence for patterns in permutations admits a straightforward generalisation for (sets of) tree patterns; we describe classes for trees with small numbers of leaves, and give several bijections between trees avoiding pattern sets from the same class. We also explain a few general results for tree pattern avoidance, both for the exact and the asymptotic enumeration.

研究动机与目标

• 为了形式化一个基于操作代数理论和格罗布纳基理论的新概念：平面标号根树中的模式避免。
• 将经典连续模式避免（在词、排列、带颜色的排列中）推广至树的设定。
• 研究避免给定树模式集合的树的精确计数与渐近计数。
• 研究树模式的威尔夫等价类，并在同族模式之间建立双射。
• 将树模式避免的组合学与代数结构（特别是混洗操作代数及其单项基）联系起来。

提出的方法

• 定义平面标号根树及作为子结构的树模式，其中标签和相对顺序至关重要，从而推广经典模式。
• 通过混洗复合引入树单项式的“可除性”概念，以建模混洗操作代数中格罗布纳基的首项。
• 应用戈洛德–沙法列维奇技巧，推导树模式避免序列增长速率的渐近界。
• 利用先前工作的结果（例如科霍什金与多茨科的成果），获得特定模式集合的精确计数公式。
• 证明在“混洗正则性”条件下，树模式避免的生成函数是微分代数的。
• 通过双射和结构分析，对小树（例如含2–4片叶子的树）进行威尔夫等价类的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过树模式将排列和词中的经典连续模式避免统一于单一框架之下？
• RQ2 避免给定树模式集合的树的数量的渐近增长速率是多少？
• RQ3 哪些树模式集合是威尔夫等价的，如何在它们的避免类之间构造双射？
• RQ4 树模式避免的生成函数具有哪些代数性质，特别是在混洗正则性条件下？
• RQ5 混洗操作代数的结构如何与避免某些模式的树单项式的计数相关联？

主要发现

• 在‘混洗正则性’条件下，树模式避免的生成函数是微分代数的，这推广了关于无标号树的已知结果。
• 通过先前关于混洗操作代数的工作（特别是格罗布纳基技术）可导出树模式避免的精确计数结果。
• 可利用戈洛德–沙法列维奇不等式，对避免序列的增长速率进行渐近界估计，从而将该不等式扩展至该上下文。
• 对小树模式（例如含2–4片叶子的树）的威尔夫等价类进行了显式描述，并在同族模式之间构造了双射。
• 避免给定模式集合的树的数量与具有单项关系的混洗操作代数中对应分量的维数直接对应。
• 该框架将各种类型的连续模式避免（词、排列、带颜色的排列）统一为树模式避免的特例。