[论文解读] Pattern Avoidance in Set Partitions

Bruce E. Sagan|ArXiv.org|Apr 12, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 37被引用 79

一句话总结

本文基於Klazar定義的模式包含關係，研究集合劃分中的模式避免問題，為所有三元素模式提供精確計數公式與生成函數。研究證明對應的序列為P-遞迴序列，並引入基於限制增長函數的第二種模式定義，進而獲得更多計數結果，並與q-類比Fibonacci數與Mahonian統計量建立聯繫。

ABSTRACT

The study of patterns in permutations in a very active area of current research. Klazar defined and studied an analogous notion of pattern for set partitions. We continue this work, finding exact formulas for the number of set partitions which avoid certain specific patterns. In particular, we enumerate and characterize those partitions avoiding any partition of a 3-element set. This allows us to conclude that the corresponding sequences are P-recursive. Finally, we define a second notion of pattern in a set partition, based on its restricted growth function. Related results are obtained for this new definition.

研究动机与目标

• 為避免特定模式（特別是三元素集合的所有劃分）的集合劃分進行計數。
• 描述避免三元素模式之劃分的結構，並證明其計數序列為P-遞迴序列。
• 引入並分析基於限制增長函數的集合劃分中第二種模式概念。
• 探討避免模式之集合劃分與q-類比Fibonacci數及Mahonian統計量之間的聯繫。

提出的方法

• 透過子劃分與序同構關係，利用標準化映射定義集合劃分中模式包含關係。
• 應用指數生成函數與公式 $\sum_{n=0}^\infty a_{n,l}^I \frac{x^n}{n!} = \frac{F_I(x)^l}{l!}$，以計數塊大小屬於給定集合 $I$ 的劃分。
• 定義限制增長函數（RGFs）以引入第二種模式定義，進而獲得新的計數結果。
• 運用生成函數與組合構造，推導避免類別的閉合形式與P-遞迴序列。
• 透過q-類比，將避免模式之劃分與非交叉劃分、Fibonacci數等已知組合對象連結。
• 使用偏序集理論與Möbius函數分析集合劃分上模式包含關係所構成的偏序集結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於 $[n]$ 的集合劃分，避免給定三元素模式的精確數量為何？
• RQ2 計數避免模式之集合劃分的序列是否為P-遞迴序列？若是，原因為何？
• RQ3 基於限制增長函數的第二種模式定義如何影響避免劃分的計數？
• RQ4 避免模式之集合劃分與q-類比Fibonacci數或Mahonian統計量之間存在何種聯繫？
• RQ5 以模式包含關係排序的集合劃分偏序集的Möbius函數為何？

主要发现

• 避免任一三元素模式之集合劃分的數量由P-遞迴序列給出，確認此類計數序列具有P-遞迴性質。
• 對於模式 $1/2/3$，所有 $n$ 下避免該模式的劃分數量為 $1$，因為僅全為單元素塊的劃分才會避免此模式。
• 避免 $13/2$ 模式的劃分之生成函數為 $F_{13/2}(x) = \exp_{\leq 2}(x)$，對應於塊大小至多為2的劃分之指數生成函數。
• 同時避免 $1/2/3$ 與 $13/2$ 模式的劃分之生成函數為 $F_{1/2/3,13/2}(x) = \sum_{n=0}^\infty F_n \frac{x^n}{n!}$，其中 $F_n$ 為第 $n$ 個Fibonacci數。
• 本文透過避免模式之劃分上的生成函數，建立Fibonacci數之q-類比的統一框架。
• 以模式包含關係排序的集合劃分偏序集繼承了組合偏序集的結構性質，其Möbius函數結果可由層次排列推廣至層次劃分。