[论文解读] Pattern avoidance with involution

James D. Currie|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

该论文确定了在二元字母表上带有对合运算的全部一元模式的形态与反形态避免指数。证明了对于所有长度为4或以上的此类模式（排除平凡情况），两种避免指数均为2，通过基于Thue-Morse序列及相关无限词的构造，避免在形态与反形态对合下出现特定的因子模式。

ABSTRACT

We give the avoidance indices (morphic and antimorphic) for all unary patterns with involution.

研究动机与目标

• 对所有带有对合运算的一元模式分类其形态与反形态避免指数。
• 解决涉及变量及其对合像在形态与反形态映射下模式的避免行为。
• 将经典模式避免理论扩展至包含词论中的对合对称性。
• 构造无限二元词，避免在形态与反形态对合下出现特定的因子模式。
• 证明所有非平凡的一元模式在长度≥4时，在形态与反形态设置下避免指数均为2。

提出的方法

• 通过Thue-Morse序列构造无限二元词 w = ∏_{j=0}^∞ 0²1^{t_i+2}，以避免在形态对合下出现 xxg(x)x 形式的因子。
• 利用Thue-Morse序列 t = h^ω(0)，其中 h(0)=01, h(1)=10，定义 w 和 v 中的块结构。
• 采用反证法，假设在形态或反形态对合下存在如 xxg(x)x、g(x)xxg(x) 或 xxxx 等禁止因子。
• 分析 x 的结构约束（例如，不含 000、111、010、101），以排除可能生成禁止因子的 x 的形式。
• 分别考虑形态对合（恒等与取反）与反形态对合（反转与反向取反）。
• 利用Thue-Morse序列避免重叠与平方的性质，排除 x 与 g(x) 中的重复结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在字母表 {x, g(x)} 上，一元模式 p 的形态避免指数是多少？
• RQ2 此类模式 p 的反形态避免指数是多少？
• RQ3 对于哪些带有对合运算的一元模式，避免指数为无穷大，哪些为有限？
• RQ4 能否构造出无限二元词以避免给定模式 p 的所有形态与反形态实例？
• RQ5 在对合对称下，长度为4或以上的模式的避免指数行为如何？

主要发现

• 对于所有长度为3的一元模式 p（除 xxx 和 g(x)g(x)g(x) 外），形态与反形态避免指数均为3。
• 对于模式 xg(x)、g(x)x、x 和 g(x)，两种避免指数均为无穷大，因为不存在无限词可避免其出现。
• 对于所有长度为4或以上的一元模式 p（排除含有 xxx 或 g(x)g(x)g(x) 作为因子的情况），形态与反形态避免指数均为2。
• 无限词 w = ∏_{j=0}^∞ 0²1^{t_i+2} 避免了在形态对合下所有 xxg(x)x 形式的因子。
• 无限词 v = ∏_{j=0}^∞ 01^{2t_i+1} 避免了在形态对合下所有 g(x)xxg(x) 形式的因子。
• 无限词 (0001)^ω 避免了在反形态对合下所有 xxg(x)g(x)、xg(x)xg(x) 与 g(x)xxg(x) 形式的因子。