[论文解读] Pattern-Avoiding (0,1)-Matrices

Richard A. Brualdi, Lei Cao|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

graph theory and CDMA systems参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文研究了 (0,1)-矩陣的模式避免，作为模式避免排列的推广，重点关注 123- 和 312- 避免模式。本文确定了避免这些模式的 n×n (0,1)-矩陣中 1 的最大数量，提供了构造性算法以生成所有此类矩陣，並利用排列矩陣包含關係與總支撐條件，對其結構與組合性質進行了特徵描述。

ABSTRACT

We investigate pattern-avoiding (0,1)-matrices as generalizations of pattern-avoiding permutations. Our emphasis is on 123-avoiding and 321-avoiding patterns for which we obtain exact results as to the maximum number of 1's such matrices can have. We also give algorithms when carried out in all possible ways, construct all of the pattern-avoiding matrices of these two types.

研究动机与目标

• 將模式避免從排列推廣至 (0,1)-矩陣，專注於 123 與 312 模式。
• 確定避免 123- 或 312- 模式的 n×n (0,1)-矩陣中 1 的最大數量。
• 開發可構造的算法，以生成所有此類模式避免矩陣。
• 利用總支撐與完全不可分解條件，對這些矩陣的結構進行特徵描述。
• 探討模式避免永久值與組合矩陣理論之間的聯繫。

提出的方法

• 定義一個 (0,1)-矩陣為 123-排列避免，若其包含的每個排列矩陣均為 123-避免。
• 類似地定義 312-排列避免，基於包含的排列矩陣避免 312 模式。
• 使用總支撐概念，確保矩陣中的每個 1 都是某個有效排列矩陣的一部分。
• 透過探索有效的行與列配置，系統性地構造所有 123- 與 312- 排列避免矩陣的算法。
• 利用已知的排列模式避免結果，包括對三元素模式的卡塔蘭數計數。
• 應用矩陣分解技術，例如將全 1 矩陣 J_n 分解為反向格拉斯曼排列矩陣。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有總支撐的 n×n 123-排列避免 (0,1)-矩陣中，1 的最大數量是多少？
• RQ2 在具有總支撐的 n×n 312-排列避免 (0,1)-矩陣中，1 的最大數量是多少？
• RQ3 是否能透過演算法方法系統性地構造所有 123- 與 312- 排列避免的 (0,1)-矩陣？
• RQ4 完全不可分解的 (0,1)-矩陣中，若其為 123- 或 312- 排列避免，其最大永久值是多少？
• RQ5 在 {1,…,n} 的子集上，什麼條件下，一個 σ-避免部分排列可擴展為完整 σ-避免排列？

主要发现

• 具有總支撐的 n×n 123-排列避免 (0,1)-矩陣中，1 的最大數量恰好為 2n−1。
• 具有總支撐的 n×n 312-排列避免 (0,1)-矩陣中，1 的最大數量也恰好為 2n−1。
• 提供了一個明確的演算法，透過遞迴構建有效的行配置，生成所有 123-排列避免 (0,1)-矩陣。
• 提供了一個明確的演算法，使用類似的遞迴行構建方法，生成所有 312-排列避免 (0,1)-矩陣。
• 具有特定塊結構的矩陣（例如 n=5 時所示，永久值為 12）被猜想可達成最大 312-避免永久值。
• 在 123- 或 312- 避免條件下，全 1 矩陣 J_n 的永久值為卡塔蘭數 C_n = (2n choose n)/(n+1)。