[论文解读] Pattern Clustering using Cooperative Game Theory

Swapnil Dhamal, Satyanath Bhat+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出 DRAC（密度受限凝聚聚类）这一新型聚类算法，通过基于成对距离的特征函数，将模式聚类建模为合作博弈。研究表明，在该框架下，核心（Nucleolus）、Shapley 值、Gately 点与 τ-值完全一致，从而可通过计算高效的 Shapley 值实现高效计算，同时保持公平性与稳定性特性。

ABSTRACT

In this paper, we approach the classical problem of clustering using solution concepts from cooperative game theory such as Nucleolus and Shapley value. We formulate the problem of clustering as a characteristic form game and develop a novel algorithm DRAC (Density-Restricted Agglomerative Clustering) for clustering. With extensive experimentation on standard data sets, we compare the performance of DRAC with that of well known algorithms. We show an interesting result that four prominent solution concepts, Nucleolus, Shapley value, Gately point and τ-value coincide for the defined characteristic form game. This vindicates the choice of the characteristic function of the clustering game and also provides strong intuitive foundation for our approach.

研究动机与目标

• 为解决 K-means、凝聚聚类、DBSCAN 与 OPTICS 等传统聚类算法的局限性，引入博弈论框架。
• 通过合作博弈论中的解概念，提供一种系统化方法来确定聚类数 k。
• 设计一种基于博弈论解概念的聚类算法，确保公平性、稳定性和效率。
• 正式证明在所提出的博弈框架下，多种解概念（核心、Shapley 值、Gately 点、τ-值）的等价性。
• 设计一种密度受限的凝聚聚类算法（DRAC），以克服现有方法的不足。

提出的方法

• 将聚类建模为特征形式博弈 (N, ν)，其中 N 为数据点集合，ν(S) 基于成对相似性函数 f(d(i,j)) 定义，针对联盟 S。
• 定义特征函数 ν(S) = ∑_{i<j, i,j∈S} f(d(i,j))，对所有 S ⊆ N 成立，其中 f(d(i,j)) 表示点 i 与 j 之间的相似性。
• 采用 Shapley 值作为主要解概念，因其计算效率高且具备公平性，每个点 i 的 Shapley 值为 φ_i = (1/2)∑_{j≠i} f(d(i,j))。
• 利用解概念的等价性：由于核心对称且博弈完全平衡，核心、Shapley 值、Gately 点与 τ-值全部一致。
• 设计 DRAC 为一种密度受限的凝聚算法，利用 Shapley 值指导聚类形成，优先选择高密度区域。
• 应用线性规划与博弈论公理，确保分配的稳定性和公平性，辅以解概念等价性的正式证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 合作博弈论中的解概念（如核心、Shapley 值、Gately 点与 τ-值）能否有效应用于模式聚类？
• RQ2 在何种条件下，核心、Shapley 值、Gately 点与 τ-值在聚类博弈中完全一致？
• RQ3 所提出的博弈论聚类算法是否能在聚类质量与鲁棒性方面优于 K-means、DBSCAN 与 OPTICS 等传统方法？
• RQ4 所提出的特征函数 ν(S) 是否能生成一个具有稳定且公平解的博弈，且其行为符合直观的聚类直觉？
• RQ5 能否通过利用计算高效的等价解概念（如 Shapley 值）来避免计算核心的高复杂度？

主要发现

• 在所提出的聚类博弈中，核心、Shapley 值、Gately 点与 τ-值完全一致，如第 V 节正式证明所示。
• Shapley 值可在多项式时间内计算，公式为 φ_i = (1/2)∑_{j≠i} f(d(i,j))，从而支持 DRAC 的高效实现。
• 解概念的等价性源于博弈核心的对称性，其核心位于单一中心点，使所有解概念相等。
• 特征函数 ν(S) = ∑_{i<j, i,j∈S} f(d(i,j)) 的合理性得到解概念等价性的支持，提供了强有力的理论依据。
• 通过大量实验验证，DRAC 在标准数据集上优于 K-means、凝聚聚类、DBSCAN 与 OPTICS。
• 博弈论框架为聚类提供了一个统一、公平且稳定的范式，同时整合了最小-最大公平性与稳定性特性。