[论文解读] Pattern restricted quasi-Stirling permutations

Kassie Archer, Adam Gregory+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文引入了拟斯特林排列——即多重集 {1,1,2,2,…,n,n} 的排列，且避免模式 1212 和 2121——作为斯特林排列的自然推广。作者建立了此类排列与有序根标号树之间的双射，并在多种模式避免条件下对它们进行计数，包括对所有大小至少为 2 的三元模式集合的完整分类，关键结果表明：避免四个特定三元模式将恰好产生 3 个或 2 个此类排列，具体取决于所选集合。

ABSTRACT

We define a variation of Stirling permutations, called quasi-Stirling permutations, to be permutations on the multiset $\{1,1,2,2,\ldots, n,n\}$ that avoid the patterns 1212 and 2121. Their study is motivated by a known relationship between Stirling permutations and increasing ordered rooted labeled trees. We construct a bijection between quasi-Stirling permutations and the set of ordered rooted labeled trees and investigate pattern avoidance for these permutations.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新排列，称为拟斯特林排列，其避免模式 1212 和 2121。
• 建立拟斯特林排列与有序根标号树之间的双射，推广已知的斯特林排列与树之间的对应关系。
• 在多种模式避免条件下对拟斯特林排列进行计数，尤其是针对三元模式集合。
• 研究这些排列中平台数（连续重复元素）的性质，并将其与树的叶结构相关联。
• 识别模式计数、统计量（如下降数）以及模型推广方面的开放问题。

提出的方法

• 将拟斯特林排列定义为 {1,1,2,2,…,n,n} 的排列，且避免模式 1212 和 2121。
• 通过深度优先遍历记录边下方的顶点，构造从 [n] 上的有序根标号树到拟斯特林排列的双射 φ。
• 利用树结构刻画所得排列中 1212 和 2121 模式的避免性质。
• 应用组合计数技术，包括生成函数和已知的树叶计数结果，推导出精确公式。
• 利用关于具有 k 个叶的有序根无标号树数量的已知结果，推导出具有 k 个平台的拟斯特林排列的数量。
• 使用递归与结构推理，对避免特定三元模式集合的排列进行计数，包括仅允许 123 或 321 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 避免所有大小至少为 2 的三元模式集合的拟斯特林排列数量是多少？
• RQ2 避免集合 {123,132,231,312} 的拟斯特林排列有多少个？其结构如何？
• RQ3 具有恰好 k 个平台的拟斯特林排列数量是多少？这与树的叶数有何关联？
• RQ4 能否对避免单个三元模式（如 321 或 312）的拟斯特林排列进行计数？若可，通过何种递推关系或闭式表达？
• RQ5 拟斯特林排列中下降数与已知组合结构（如根无序森林）之间是否存在联系？

主要发现

• 避免集合 {123,132,231,312} 的拟斯特林排列数量对所有 n ≥ 3 恰好为 3。
• 避免集合 {132,213,231,312} 的拟斯特林排列数量对所有 n ≥ 3 恰好为 2，分别对应完全递增和完全递减的排列。
• 具有恰好 k 个平台的拟斯特林排列数量由公式 $\frac{n!}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}$ 给出。
• 避免集合 {123,132,213,231,321} 的拟斯特林排列数量对所有 n ≥ 5 为 0。
• 避免集合 {123,132,213,231,312} 的拟斯特林排列数量对所有 n ≥ 3 恰好为 1，对应于递减排列。
• 作者猜想：具有恰好 n−1 个下降的拟斯特林排列数量为 $ (n+1)^{n-1} $，与 n 个节点的根无序森林数量一致。