[论文解读] Pattern Rigidity and the Hilbert-Smith Conjecture

Mahan Mj|Jun 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 59被引用 5

一句话总结

本文通过分析保持图案的拟等距群，建立了具有余维一拟凸子群的双曲庞加莱对偶群的图案刚性。在边界满足维数条件（Hausdorff维数小于拓扑维数加二）时，证明了任何包含原群 $G$ 的此类群必须在 $G$ 中具有有限指数，通过拓扑与度量测度空间技术将拟等距刚性推广至相对情形。

ABSTRACT

In this paper we initiate a study of the topological group $PPQI(G,H)$ of pattern-preserving quasi-isometries for $G$ a hyperbolic Poincare duality group and $H$ an infinite quasiconvex subgroup of infinite index in $G$. Suppose $\partial G$ admits a visual metric $d$ with $dim_H < dim_t +2$, where $dim_H$ is the Hausdorff dimension and $dim_t$ is the topological dimension of $(\partial G,d)$. a) If $Q_u$ is a group of pattern-preserving uniform quasi-isometries (or more generally any locally compact group of pattern-preserving quasi-isometries) containing $G$, then $G$ is of finite index in $Q_u$. b) If instead, $H$ is a codimension one filling subgroup, and $Q$ is any group of pattern-preserving quasi-isometries containing $G$, then $G$ is of finite index in $Q$. Moreover, (Topological Pattern Rigidity) if $L$ is the limit set of $H$, $\LL$ is the collection of translates of $L$ under $G$, and $Q$ is any pattern-preserving group of {\it homeomorphisms} of $\partial G$ preserving $\LL$ and containing $G$, then the index of $G$ in $Q$ is finite. We find analogous results in the realm of relative hyperbolicity, regarding an equivariant collection of horoballs as a symmetric pattern in a {\it hyperbolic} (not relatively hyperbolic) space. Combining our main result with a theorem of Mosher-Sageev-Whyte, we obtain QI rigidity results. An important ingredient of the proof is a version of the Hilbert-Smith conjecture for certain metric measure spaces, which uses the full strength of Yang's theorem on actions of the p-adic integers on homology manifolds. This might be of independent interest.

研究动机与目标

• 建立具有无限余维一拟凸子群的双曲庞加莱对偶群的拓扑图案刚性。
• 在边界维数条件下证明：任何包含 $G$ 的保持图案的拟等距群必须在 $G$ 中具有有限指数。
• 通过双曲球对称图案，将拟等距刚性结果推广至相对双曲情形。
• 基于杨氏关于 $p$-进作用的定理，为Ahlfors正则度量测度空间发展希尔伯特-史密斯猜想的一个版本。
• 通过边界拓扑与度量测度空间几何替代线性代数技术，消除对线性结构的依赖。

提出的方法

• 定义双曲PD群 $G$ 与无限余维一指数的拟凸子群 $H$ 的保持图案拟等距群 $PPQI(G,H)$。
• 在 $\partial G$ 上使用视觉度量，并施加条件 $\dim_{\text{haus}} < \dim_t + 2$，或等价地 $ACD(\partial G) < \dim_t + 2$，以控制边界几何。
• 应用Ahlfors正则度量测度空间理论，分析拟等距作用与共形维数。
• 利用纽曼-史密斯定理与杨氏关于 $p$-进群作用在同调流形上的结果，排除病态群元素。
• 利用余维一子群在 $\partial G$ 上构造组合交叉比，以检测几何结构。
• 引入 $PPQI(G,H)$ 上的“置换拓扑”，以分析有限轨道行为，并通过轨道直径控制将其与一致拓扑关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种边界维数条件下，双曲PD群 $G$（具有余维一拟凸子群 $H$）的保持图案拟等距群在 $G$ 中具有有限指数？
• RQ2 能否通过将双曲球的对称图案视为几何结构，将拟等距刚性推广至相对双曲群？
• RQ3 希尔伯特-史密斯猜想在由双曲群边界导出的Ahlfors正则度量测度空间中，可推广到何种程度？
• RQ4 如何利用 $PPQI(G,H)$ 中无小根、无小挠率元素及无 $p$-进子群的性质，推导出有限指数结果？
• RQ5 置换拓扑是否可用于替代图案保持群有限性定理中的局部紧性假设？

主要发现

• 若 $\partial G$ 允许一个满足 $\dim_{\text{haus}} < \dim_t + 2$ 的视觉度量，则任何包含 $G$ 的局部紧的保持图案一致拟等距群 $Q_u$ 必在 $G$ 中具有有限指数。
• 对于余维一填充子群 $H$，任何包含 $G$ 的保持图案拟等距群 $Q$ 必在 $G$ 中具有有限指数，即使不假设局部紧性。
• 拓扑图案刚性成立：若 $Q$ 是 $\partial G$ 上保持 $H$ 的极限集 $L$ 的 $G$-轨道的同胚群，且 $Q$ 包含 $G$，则 $[Q:G] < \infty$。
• 通过将双曲球族视为有限体积负曲率流形的万有覆叠中的对称图案，该结果可推广至相对双曲群。
• 基于杨氏关于 $p$-进作用的定理，证明了Ahlfors正则度量测度空间（作为双曲PD群边界的导出空间）的希尔伯特-史密斯猜想的一个版本。
• 证明依赖于通过边界拓扑与度量测度空间结构，排除拓扑可除元素、小挠率元素及 $p$-进子群。