[论文解读] Patterns in column strict fillings of rectangular arrays

Johannes Harmse, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了 $k \times n$ 矩形数组中列严格填充的模式匹配，其中每列的元素严格递增。文章引入了 $P$-匹配、非重叠匹配以及标准杨氏图 $P$ 形状为 $2^k$ 时的 $P$-交错填充，并推导出其分布的生成函数，建立了形状为 $2^n$ 的标准杨氏图与长度为 $n-1$ 的 Motzkin 路径之间的双射，揭示了 Wilf-等价性与特殊填充的计数结果。

ABSTRACT

In this paper, we study pattern matching in the set F_{n,k} of fillings of the k x n rectangle with the integers 1,...,kn such that the elements in any column increase from bottom to top. Let P be a column strict tableau of shape 2^k. We say that a filling F in F_{n,k} has P-match starting at i if the elements of F in columns i and i+1 have the same relative order as the elements of P. We compute the generating functions for the distribution of P-matches and nonoverlapping P-matches for various classes of standard tableaux of shape 2^k. We say that a filling F in F_{n,k} is P-alternating if there are P-matches of F starting at all odd positions but there are no P-matches of F starting at even positions. We also compute the generating functions for P-alternating elements of F_{n,k} for various classes of standard tableaux of shape 2^k.

研究动机与目标

• 将排列中的模式匹配概念推广到列严格填充的矩形数组中。
• 在 $\mathcal{F}_{n,k}$（即 $k\times n$ 填充且每列严格递增的集合）中定义并分析 $P$-匹配、非重叠 $P$-匹配以及 $P$-交错填充。
• 计算标准杨氏图 $P$（形状为 $2^k$）在 $\mathcal{F}_{n,k}$ 中这些模式出现次数的生成函数。
• 建立形状为 $2^n$ 的标准杨氏图与长度为 $n-1$ 的 Motzkin 路径之间的双射，将组合计数与路径计数联系起来。
• 探讨 $P$-匹配分布中的 Wilf-等价性与补对称性。

提出的方法

• 将 $\mathcal{F}_{n,k}$ 定义为使用 $1$ 到 $kn$ 的互异整数、每列严格递增的 $k\times n$ 填充集合。
• 在 $F\in\mathcal{F}_{n,k}$ 中引入 $P$-匹配的概念，即列 $i$ 与 $i+1$ 之间的相对顺序与一个固定的标准杨氏图 $P$（形状为 $2^k$）相匹配。
• 使用约化填充 $\mathrm{red}(F)$ 对相对顺序进行归一化，以便在不同填充之间进行比较。
• 从标准杨氏图 $P$ 构造图 $G_{P,n}$，以建模 $F\in\mathcal{F}_{n,k}$ 中单元格之间的依赖关系，从而形成一个偏序集 $\mathcal{W}_{P,n}$。
• 建立 $\mathcal{W}_{P,n}$ 的线性扩展与 $P$-交错填充之间的一一对应关系，从而通过偏序集的线性扩展实现计数。
• 应用广义补对称操作 $F^{gc} = f_x \circ f_y \circ c(F)$，证明 $P$ 与 $P^{gc}$ 是 $c$-Wilf 等价的，从而减少需分析的情形数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将排列中的标准模式匹配概念推广到列严格填充且每列递增的矩形数组中？
• RQ2 对于形状为 $2^k$ 的标准杨氏图 $P$，$\mathcal{F}_{n,k}$ 中 $P$-匹配数的生成函数是什么？
• RQ3 什么是 $P$-交错填充的生成函数，即 $P$-匹配出现在所有奇数起始位置但不出现在偶数起始位置的情形？
• RQ4 $P$ 的结构与 $P$-交错填充的数量之间存在何种关系，特别是从偏序集的线性扩展角度？
• RQ5 诸如补对称等对称性如何影响 $P$-匹配的分布？这对 Wilf-等价性有何含义？

主要发现

• 存在一个双射 $\Gamma: St_{2^n} \to \mathcal{M}^{(2)}_{n-1}$，将形状为 $2^n$ 的标准杨氏图与长度为 $n-1$ 的 Motzkin 路径一一对应，证明了形状为 $2^n$ 的退化杨氏图的数量等于第 $n-1$ 个 Motzkin 数。
• 对于形状为 $2^k$ 的退化标准杨氏图 $P$，$P$ 与 $Q$ 是强 $c$-Wilf 等价的，即它们的 $P$-匹配生成函数 $D^P(t,x)$ 与 $D^Q(t,x)$ 完全相同。
• 广义补对称操作满足 $F^{gc} \in \mathcal{F}_{n,k}$ 且 $P^{gc} \in St_{2^k}$，并且 $F \in \mathrm{Full}_n^P$ 当且仅当 $F^{gc} \in \mathrm{Full}_n^{P^{gc}}$，因此 $\mathrm{full}_n^P = \mathrm{full}_n^{P^{gc}}$，这意味着 $c$-Wilf 等价性。
• 对于图 23 中的非退化杨氏图 $Q$，$Q$-交错填充的数量为 $\mathrm{full}_n^Q = \frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$，该结果通过特定偏序集的线性扩展递归计数得出。
• 对于图 23 中的杨氏图 $P$，尽管对其关联的偏序集结构进行了广泛分析，仍未找到 $\mathrm{full}_n^P$ 的闭式表达。
• 由 $G_{P,n}$ 导出的偏序集 $\mathcal{W}_{P,n}$ 与计数 $P$-交错填充的线性扩展之间存在一一对应关系，从而可通过偏序集理论实现计数。