[论文解读] Patterns of Negative Shifts and Beta-Shifts

Sergi Elizalde, Katherine Moore|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文将动力系统中排列模式的研究扩展至负β-移位，提出一种组合框架，用于计算使给定排列π由负β-移位映射实现的最小β > 1。它给出了负移位复杂度B̄(π)的公式，即特定多项式P̄π(β)的最大实根，将先前关于正β-移位和整数负移位的结果推广至实数负β情形。

ABSTRACT

The $β$-shift is the transformation from the unit interval to itself that maps $x$ to the fractional part of $βx$. Permutations realized by the relative order of the elements in the orbits of these maps have been studied for positive integer values of $β$ and for real values $β>1$. In both cases, a combinatorial description of the smallest positive value of $β$ needed to realize a permutation is provided. In this paper we extend these results to the case of negative $β$, both in the integer and in the real case. Negative $β$-shifts are related to digital expansions with negative real bases, studied by Ito and Sadahiro, and Liao and Steiner.

研究动机与目标

• 将β-移位中排列模式的理论扩展至负实数基β > 1的情形。
• 确定最小的β > 1，使得给定排列π由负β-移位映射T₋β实现。
• 将先前关于整数负移位和正β-移位的结果推广至负β的完整实数情形。
• 表征负β-移位的允许模式集合，并计算其移位复杂度。
• 建立实数负β展开与通过轨道排序实现排列之间的联系。

提出的方法

• 定义负β-移位映射T₋β: (0,1] → (0,1]为T₋β(x) = 1 - {βx}，该定义将标准β-移位推广至负基β > 1。
• 利用负β展开系统中可接受字串的概念，表示基为-β的实数。
• 对于给定排列π，构造一个属于可接受集合W₋β的字串w，使其通过轨道排序诱导出π。
• 推导出一个多项式P̄π(β)，其最大实根β ≥ 1即为使π由T₋β实现的最小β。
• 应用交错序与无限字串的理论，将临界值β = B̄(π)确定为方程f_w[ℓ,∞)(x) = 1的最大实解。
• 利用如下事实：当字串w的尾部字典序小于标准字串u的交错序时，B̄(π) = 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 使给定排列π由负β-移位映射T₋β实现的最小β > 1是多少？
• RQ2 负β-移位的允许模式集合能否通过组合方式表征？
• RQ3 实数负β展开与通过轨道排序实现排列之间存在何种关系？
• RQ4 能否对任意排列π算法计算其移位复杂度B̄(π)？
• RQ5 多项式P̄π(β)的结构如何与排列π的形状和结构相关联？

主要发现

• 排列π的负移位复杂度B̄(π)等于从排列结构显式构造出的多项式P̄π(β)的最大实根。
• 对于长度为4的排列，B̄(π)的取值范围为1至约2.247，特定值与多项式β³ - 2β² + β - 1的根相关。
• 对于长度为5的排列，B̄(π)的取值范围为1至约3.243，例如2.7693对应多项式β³ - 3β² + β - 1的最大实根。
• 当P̄π(β)在β ≥ 1范围内无实根时，B̄(π) = 1，此情况恰好发生在关联字串的尾部字典序小于标准字串u的交错序时。
• 构造诱导π的字串w可确保B̄(π)为使π ∈ Allow(T₋β)成立的最小β > 1，且该值可通过在P̄π(β)上进行根查找算法计算得出。
• 该方法将先前关于正β-移位和整数负移位的结果推广，为实数负β > 1提供了统一的理论框架。