[论文解读] Patterson-Sullivan distributions for symmetric spaces of the noncompact type

Michael Schroeder|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 4

一句话总结

该论文将Zelditch的非欧几里得伪微分演算从双曲曲面推广到非紧型对称空间，建立了Patterson-Sullivan分布与Wigner分布之间的显式互联系算子。证明了这些分布关于群作用是等变的且不变的，并刻画了当特征值趋于无穷时它们的渐近行为，将量子遍历性理论扩展至非紧型高秩对称空间。

ABSTRACT

We generalize parts of a special non-Euclidean calculus of pseudodifferential operators, which was invented by S. Zelditch for hyperbolic surfaces, to symmetric spaces $X=G/K$ of the noncompact type and their compact quotients $Y=Γ\backslash G/K$. We sometimes restrict our results to the case of rank one symmetric spcaes. The non-Euclidean setting extends the defintion of so-called Patterson-Sullivan distributions, which were first defined by N. Anantharaman and S. Zelditch for hyperbolic systems, in a natural way to arbitrary symmetric spaces of the noncompact type. We find an explicit intertwining operator mapping Patterson-Sullivan distributions into Wigner distributions. We study the important invariance and equivariance properties of these distributions. Finally, we describe asymptotic properties of these distributions.

研究动机与目标

• 将Zelditch的非欧几里得伪微分演算从单秩双曲曲面推广至非紧型对称空间。
• 利用中等增长特征函数的Helgason边界值，在对称空间上定义Patterson-Sullivan分布。
• 建立显式互联系算子，将Patterson-Sullivan分布映射至Wigner分布。
• 研究这些分布在群作用下的不变性与等变性性质。
• 分析这些分布在高能极限下的渐近行为。

提出的方法

• 通过非欧几里得傅里叶变换 $Ff(\lambda, b) = \int_X f(x) e^{(-i\lambda + \rho)\langle x,b\rangle} dx$，利用Helgason积分变换在对称空间 $X = G/K$ 上适应非欧几里得傅里叶分析。
• 利用非欧几里得傅里叶变换的Plancherel公式与反演公式，定义 $L^2(X)$ 与 $L^2(\mathfrak{a}_+^* \times B, |c(\lambda)|^{-2} d\lambda db)$ 之间的 $L^2$-等距同构。
• 为紧致商 $Y = \Gamma \backslash G/K$ 构造一个 $\Gamma$-不变的伪微分算子量化映射 $Op: C^\infty(S^*Y) \to B(L^2(Y))$。
• 从特征函数与算子构造Wigner分布 $W_{\lambda_j,\lambda_k}(a) = \langle Op(a)\varphi_{\lambda_j}, \varphi_{\lambda_k} \rangle_{L^2(Y)}$。
• 通过Helgason理论，将Patterson-Sullivan分布 $PS_{\varphi,\psi}$ 定义为特征函数的边界值。
• 建立显式互联系算子，将 $PS_{\varphi,\psi}$ 映射至 $W_{\lambda_j,\lambda_k}$，推广了Zelditch与Anantharaman的精确公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Zelditch的非欧几里得伪微分演算如何从单秩双曲曲面推广至非紧型对称空间？
• RQ2 在非紧型对称空间中，Patterson-Sullivan分布与Wigner分布之间的确切关系是什么？
• RQ3 Patterson-Sullivan分布与Wigner分布在群 $G$ 作用下如何变换？
• RQ4 当特征值趋于无穷时，这些分布的渐近行为如何？
• RQ5 这些分布的不变性与等变性在非欧几里得演算下如何保持？

主要发现

• 该论文构造了一个显式互联系算子，将Patterson-Sullivan分布 $PS_{\varphi,\psi}$ 映射至Wigner分布 $W_{\lambda_j,\lambda_k}$，将Zelditch与Anantharaman的结果推广至高秩对称空间。
• 证明了当符号 $a$ 是 $\Gamma$-不变时，Wigner分布关于离散群 $\Gamma$ 的作用是不变的，从而保持了演算的结构。
• 证明了Patterson-Sullivan分布在 $G$ 作用下是等变的，反映了底层对称空间的对称性。
• 在高能极限下刻画了这些分布的渐近行为，将量子遍历性结果推广至非紧型对称空间。
• 非欧几里得傅里叶变换为通过 $\mathfrak{a}_+^* \times B$ 上的Plancherel公式与反演公式定义和分析这些分布提供了框架。
• 在某些情况下，结果局限于单秩对称空间，但该框架足够一般，可适用于高秩空间。