[论文解读] Pauli topological subsystem codes from Abelian anyon theories

Tyler D. Ellison, Yu-An Chen+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文通过从拓扑稳定子码中规范化特定任意任何Anyon类型，从任意二维阿贝尔任意统计理论（包括具有简并编织关系且无与真空的能隙边界者）构造泡利拓扑子系统码。关键贡献在于证明了每个阿贝尔任意统计理论都是一个自旋码与广义扭量子双代数（TQD）堆栈的子理论，从而将泡利拓扑子系统码的分类从基于量子比特的稳定子码扩展至复合维度的量子位（qudit）。

ABSTRACT

We construct Pauli topological subsystem codes characterized by arbitrary two-dimensional Abelian anyon theories--this includes anyon theories with degenerate braiding relations and those without a gapped boundary to the vacuum. Our work both extends the classification of two-dimensional Pauli topological subsystem codes to systems of composite-dimensional qudits and establishes that the classification is at least as rich as that of Abelian anyon theories. We exemplify the construction with topological subsystem codes defined on four-dimensional qudits based on the $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ anyon theory with degenerate braiding relations and the chiral semion theory--both of which cannot be captured by topological stabilizer codes. The construction proceeds by "gauging out" certain anyon types of a topological stabilizer code. This amounts to defining a gauge group generated by the stabilizer group of the topological stabilizer code and a set of anyonic string operators for the anyon types that are gauged out. The resulting topological subsystem code is characterized by an anyon theory containing a proper subset of the anyons of the topological stabilizer code. We thereby show that every Abelian anyon theory is a subtheory of a stack of toric codes and a certain family of twisted quantum doubles that generalize the double semion anyon theory. We further prove a number of general statements about the logical operators of translation invariant topological subsystem codes and define their associated anyon theories in terms of higher-form symmetries.

研究动机与目标

• 将二维泡利拓扑子系统码的分类从基于量子比特的稳定子码扩展至包含复合维度量子位（qudit）的情形。
• 证明每个阿贝尔任意统计理论——无论是否具有简并编织关系或无与真空的能隙边界——均可作为子系统码实现。
• 建立一种系统化构造方法，通过从拓扑稳定子码中规范化任意任何Anyon类型实现。
• 利用高阶对称性表征平移不变子系统码的逻辑算符及其任意统计理论。
• 证明所得到的码能够实现标准拓扑稳定子码无法捕捉的任意统计理论，如 $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ 和手征任意统计理论。

提出的方法

• 构造过程通过从拓扑稳定子码中规范化一组任意任何Anyon类型实现，方法是通过为需规范化的任意任何Anyon引入弦算符，扩展稳定子群。
• 所得子系统码的任意统计理论是原始稳定子码任意统计理论的一个真子理论。
• 该方法利用扭量子双代数（TQD）的结构，将任意阿贝尔任意统计理论实现为自旋码与广义TQD堆栈的子理论。
• 子系统码的任意统计理论源自父稳定子码任意统计理论中的拉格朗日子群，从而确保拓扑序与逻辑量子位的保护。
• 利用高阶对称性定义并分类平移不变子系统码中的逻辑算符。
• 该构造方法被应用于具体实例，包括 $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ 和手征任意统计任意统计理论，这些理论无法由拓扑稳定子码实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为所有二维阿贝尔任意统计理论（包括具有简并编织关系者）构造泡利拓扑子系统码？
• RQ2 此类码是否可在复合维度的量子位上实现，从而超越基于量子比特的稳定子码？
• RQ3 是否可能为无与真空能隙边界的任意统计理论构造子系统码？
• RQ4 从稳定子码中规范化特定任意任何Anyon类型，如何导致一个具有简化任意统计理论的新子系统码？
• RQ5 高阶对称性在表征平移不变拓扑子系统码的逻辑算符中起什么作用？

主要发现

• 本文证明了每个阿贝尔任意统计理论都是自旋码与广义扭量子双代数（TQD）堆栈的子理论，从而将泡利拓扑子系统码的分类扩展至复合维度的量子位。
• $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ 任意统计理论（具有简并编织关系）被实现为一个拓扑子系统码，而该码无法被拓扑稳定子码所捕捉。
• 手征任意统计任意统计理论也被实现为子系统码，表明此类非阿贝尔型（在阿贝尔意义上）的任意统计理论可通过子系统码实现。
• 所得子系统码的任意统计理论源自父稳定子码任意统计理论中的拉格朗日子群，从而确保拓扑序与逻辑保护。
• 通过规范化任意任何Anyon类型所得到的构造方法，形成了一致的框架，既保持了拓扑序，又将任意统计内容简化为所需的子理论。
• 平移不变子系统码的逻辑算符完全通过高阶对称性表征，为分类逻辑操作提供了通用框架。