[论文解读] Paving Rectangular Regions with Rectangular Tiles: Tatami and Non-Tatami Tilings

Richard J. Mathar|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2013

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文对使用 $1\times2$、$1\times3$、$1\times4$ 和 $2\times3$ 瓷砖铺满矩形地板进行了全面的计算研究，按四块瓷砖交汇点的数量（违反塔塔米约束）以及对称性非等价构型进行分类。研究使用递归枚举与对称性约化方法，计算了宽度 $m=9$ 以内的完整铺法和非全等铺法的确切数量与生成函数，并对滑线细化铺法提出了猜想的生成函数。

ABSTRACT

The number of complete tilings of m X n floors for tiles of shape 1 X 2, 1 X 3, 1 X 4 and 2 X 3 is computed numerically for floors up to width m=9 and variable floor lengths n. Counts are obtained for two classes, for fixed tile stack orientation on one hand and for counts up to rotations and reflections on the other hand. Counts are refined by the number of points on the floor where 4 tiles meet, i.e., by the degree of violation of the requirement for Tatami tilings.

研究动机与目标

• 系统枚举所有使用固定尺寸 $1\times2$、$1\times3$、$1\times4$ 和 $2\times3$ 矩形瓷砖铺满 $m\times n$ 矩形地板的完整铺法。
• 根据四块瓷砖交汇点的数量对铺法进行分类，量化与塔塔米约束（即无四块瓷砖在一点交汇）的偏离程度。
• 计算完整计数与考虑旋转和反射对称性后的计数（即非全等铺法），以减少由几何对称性导致的重复计数。
• 根据“滑线”数量对铺法进行细化——即不穿过任何瓷砖的水平线，提供铺法的结构分类。

提出的方法

• 使用递归回溯算法，逐个放置瓷砖，枚举所有 $m\times n$ 网格的有效铺法，确保完全覆盖且无重叠。
• 使用二进制序列映射识别并仅计数所有旋转反射全等铺法构型中字典序最小的代表，从而实现非全等铺法的计算。
• 基于 $T_t(n,m)$ 和 $\bar{T}_t(n,m)$ 表格中的列和，为每类铺法 $t$ 计算生成函数 $T_t(z,m)$ 和 $\bar{T}_t(z,m)$。
• 应用匹配条件 $nm \equiv 0 \mod(t_n t_m)$ 在枚举前筛选出仅有效的地板-瓷砖组合。
• 基于计算数据中观察到的模式，对滑线细化铺法提出闭式生成函数的猜想（例如 $\hat{\bar{T}}_1(z,3)$）。
• 通过 C++ 程序实现，采用穷举搜索与对称性剪枝，经自动化测试套件验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用仅 $1\times2$ 瓷砖铺满 $m\times n$ 矩形地板，有多少种不同的铺法，包括完整铺法与对称性非等价构型？
• RQ2 铺法按四块瓷砖交汇点数量的分布如何？该分布如何量化与塔塔米铺法约束的偏离？
• RQ3 当限制在具有特定数量“滑线”（即不与任何瓷砖相交的水平线）的铺法时，铺法计数如何变化？
• RQ4 对于固定 $m$ 且 $n$ 变化的序列，哪些生成函数能描述铺法计数的序列，特别是塔塔米与非塔塔米铺法？
• RQ5 能否为具有特定滑线计数的对称性约化铺法计数提出闭式生成函数的猜想？

主要发现

• 对于 $3\times n$ 多米诺铺法，具有一个滑线的非全等铺法数量由生成函数 $\hat{\bar{T}}_1(z,3) = z^2(1 - 2z^2)/[(1 - z^2)(1 - 3z^2 + z^4)(1 - z^2 - z^4)]$ 给出，该猜想基于计算数据得出。
• 对于 $3\times n$ 的塔塔米铺法（无四块瓷砖交汇点），其数量由一个复杂的有理生成函数描述，包含多个有理项，如猜想 41 所示。
• 对于 $3\times n$ 多米诺铺法，$n=12$ 时的非全等铺法总数为 $\bar{T}(12,3) = 145601$，该值为滑线与四块瓷砖交汇构型计数的总和。
• 对于 $4\times n$ 多米诺铺法，无滑线的铺法数量为 $\hat{\bar{T}}_0(12,4) = 14520$，由完整计数 $\bar{T}(12,4) = 37794$ 及对称性约化数据推导得出。
• 本文提供了 $m \leq 9$ 且 $n$ 递增的 $T_t(n,m)$ 和 $\bar{T}_t(n,m)$ 的精确表格，其中 $T_0(n,m)$ 对应塔塔米铺法。
• 源代码公开可用，实现了基于字典序最小化瓷砖构型二进制表示的递归铺法枚举与对称性约化。