[论文解读] PDE System Approach to Large Extra Dimensions

Edward Anderson, Reza Tavakol|ArXiv.org|Sep 12, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一套基于偏微分方程（PDE）系统的框架，用于在大额外维模型中构建体时空，比较了类时（3,1;1）与类空（4,0;–1）超曲面分裂。文章认为类空分裂在数学和物理上更具优势，表明York方法可推广至类时情形，且厚膜可能有助于实现更严格的构造，对奇点和膜世界动力学具有重要意义。

ABSTRACT

We explore some fundational issues regarding the splitting of D-dimensional EFE's w.r.t timelike and spacelike (D-1)-dimensional hypersurfaces, first without and then with thin matter sheets such as branes. We begin to implement methodology, that is well-established for the GR CP and IVP, in the new field of GR-based braneworlds, identifying and comparing many different choices of procedure. We abridge fragmentary parts of the literature of embeddings, putting the Campbell--Magaard theorem into context. We recollect and refine arguments why York and not elimination methods are used for the GR IVP. We compile a list of numerous mathematical and physical impasses to using timelike splits, whereas spacelike splits are known to be well-behaved. We however pursue both options to make contact with the current braneworld literature which is almost entirely based on timelike splits. We look at the Shiromizu-Maeda -Sasaki braneworld by means of reformulations which emphasize different aspects from the original formulation. We show that what remains of the York method in the timelike case generalizes heuristic bulk construction schemes. We formulate timelike (brane) versions of the thin sandwich conjecture. We discuss whether it is plausible to remove singularities by timelike embeddings. We point out how the braneworld geodesic postulates lead to further difficulties with the notion of singularities than in GR where these postulates are simpler. Having argued for the use of the spacelike split, we study how to progress to the construction of more general data sets for spaces partially bounded by branes. Boundary conditions are found and algorithms provided. Working with (finitely) thick branes would appear to facilitate such a study.

研究动机与目标

• 基于爱因斯坦方程，建立一个一致且通用的框架，用于在大额外维模型中构造体时空。
• 比较膜世界情景下类时（3,1;1）与类空（4,0;–1）超曲面分裂在数学与物理上的可行性。
• 阐明York方法与Gauss–Codazzi方程在膜世界初始数据设定中的作用。
• 评估通过类时嵌入实现奇点消除的可行性，以及膜世界测地线假说的影响。
• 倡导使用（4,0;–1）方案与厚膜，以实现更严格且稳定的膜世界数据集构造。

提出的方法

• 采用基于广义相对论中柯西问题与初值问题（IVP）形式的广义PDE系统方法，扩展至任意度量签名与维度。
• 使用（r,s;ε）记法对时空分裂进行分类：ε=1表示类空，ε=–1表示类时，从而实现对（3,1;1）与（4,0;–1）方案的系统性比较。
• 重新表述Shiromizu–Maeda–Sasaki（SMS）膜世界方程，揭示其对Weyl张量与二次能量-动量项的依赖性。
• 将York方法应用于类时分裂，表明其可推广至类时情形，为膜世界模型中启发式体时空构造方案提供一致框架，并导出类时版本的薄煎饼猜想。
• 分析边界条件与在由膜所界定的类空超曲面上构造数据的算法，强调厚膜在简化问题中的作用。
• 借鉴已有的广义相对论文献，避免重复发明解决方案，特别是Gauss–Codazzi系统，并将其应用于膜世界背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在膜世界模型中，类空（4,0;–1）超曲面分裂在数学与物理上比类时（3,1;1）分裂更优？
• RQ2 在膜世界情景中，类时嵌入在多大程度上可作为消除奇点的通用机制？
• RQ3 与标准广义相对论相比，膜世界测地线假说如何影响对奇点的处理？
• RQ4 与薄膜相比，使用厚膜对膜世界模型的数学与物理一致性有何影响？
• RQ5 （4,0;–1）初值问题框架能否扩展至包含非平凡、非时间对称的数据，以实现真实膜世界构型的研究？

主要发现

• （4,0;–1）类空分裂在数学与因果性上均显著优于（3,1;1）类时分裂，原因在于广义相对论中初值问题的结构已得到充分确立。
• York方法可推广至类时情形，为膜世界模型中启发式体时空构造方案提供一致的理论基础。
• SMS膜世界方程并非唯一确定；其形式取决于对Weyl项与二次能量-动量项的选择，凸显截断系统可能带来的风险。
• 类时嵌入不太可能以物理上有意义的方式提供消除奇点的通用机制。
• 厚膜更易于进行严格的数学处理，若其厚度足够可观，则可能不会改变底层物理。
• （4,0;–1）方案更适合研究高曲率过程（如黑洞碰撞），表明其对未来的膜世界引力数值与解析研究至关重要。