[论文解读] PDEs satisfied by extreme eigenvalues distributions of GUE and LUE

Estelle Basor, Yang Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文推导了有限 $ n $ 高斯酉系族（GUE）和拉盖尔酉系族（LUE）所有特征值均落在区间 $ (a,b) $ 的概率的对数导数的非线性偏微分方程（PDE）。通过正交多项式相关的阶梯算符形式，证明这些PDE分别推广了Painlevé IV和Painlevé V系统。关键结果是：在适当中心化和缩放后，对GUE和LUE中极端特征值的渐近独立性提供了分析性证明，该结论通过极限PDE分析得到验证，其解为Tracy-Widom分布。

ABSTRACT

In this paper we study, $ extsf{Prob}(n,a,b),$ the probability that all the eigenvalues of finite $n$ unitary ensembles lie in the interval $(a,b)$. This is identical to the probability that the largest eigenvalue is less than $b$ and the smallest eigenvalue is greater than $a$. It is shown that a quantity allied to $ extsf{Prob}(n,a,b)$, namely, $$ H_n(a,b):=\left[\frac{\partial}{\partial a}+\frac{\partial}{\partial b} ight]\ln extsf{Prob}(n,a,b),$$ in the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) and $$ H_n(a,b):=\left[a\frac{\partial}{\partial a}+b\frac{\partial}{\partial b} ight]\ln extsf{Prob}(n,a,b),$$ in the Laguerre Unitary Ensemble (LUE) satisfy certain nonlinear partial differential equations for fixed $n$, interpreting $H_n(a,b)$ as a function of $a$ and $b$. These partial differential equations maybe considered as two variable generalizations of a Painlevé IV and a Painlevé V system, respectively. As an application of our result, we give an analytic proof that the extreme eigenvalues of the GUE and the LUE, when suitably centered and scaled, are asymptotically independent.

研究动机与目标

• 推导有限 $ n $ 单位系族特征值全部落在给定区间 $ (a,b) $ 的概率所满足的偏微分方程。
• 建立该概率对数导数满足的非线性PDE，其分别推广了GUE的Painlevé IV系统和LUE的Painlevé V系统。
• 在适当中心化和缩放后，提供GUE和LUE中最大与最小特征值渐近独立性的分析性证明。
• 分析这些PDE在谱的软边附近的缩放极限，并确认所得解为Tracy-Widom分布的和。

提出的方法

• 利用正交多项式及其相容性条件的阶梯算符形式，推导辅助变量的非线性差分方程。
• 对GUE定义 $ H_n(a,b) = \left[\frac{\partial}{\partial a} + \frac{\partial}{\partial b}\right]\ln\text{Prob}(n,a,b) $，对LUE定义 $ H_n(a,b) = \left[a\frac{\partial}{\partial a} + b\frac{\partial}{\partial b}\right]\ln\text{Prob}(n,a,b) $ 作为关键函数。
• 通过递推关系和相容性条件，推导GUE和LUE中 $ H_n(a,b) $ 的二阶非线性PDE。
• 在谱的软边附近应用渐近缩放：$ a = Ln + cL^{2/3}n^{1/3}x $，$ b = Rn + cR^{2/3}n^{1/3}y $，其中 $ L, R $ 由 $ \beta $ 定义。
• 引入缩放函数 $ \widetilde{H}(x,y,n) = \frac{1}{n^{2/3}}H_n(\cdot,\cdot) $，以提取 $ n \to \infty $ 时的极限PDE。
• 采用分解假设 $ \widetilde{H}(x,y) = f(x) + g(y) $，证明 $ f $ 和 $ g $ 分别满足对应于Tracy-Widom左右尾部的Painlevé II方程的 $ \sigma $-形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当中心化和缩放后，GUE和LUE中的极端特征值分布是否表现出渐近独立性？
• RQ2 有限 $ n $ 时，所有特征值落在 $ (a,b) $ 的联合概率能否由 $ a $ 和 $ b $ 的非线性PDE描述？
• RQ3 对特征值区间概率对数导数满足的两变量Painlevé方程的推广形式是什么？
• RQ4 这些PDE在谱软边附近的极限行为如何与已知的Tracy-Widom分布相关联？
• RQ5 能否通过PDE的缩放极限，分析性地建立极端特征值的渐近独立性？

主要发现

• GUE的函数 $ H_n(a,b) $ 满足一个推广Painlevé IV $ \sigma $-形式的非线性PDE，在边缘极限下退化为 $ P_{IV} $ 方程。
• 对于LUE，$ H_n(a,b) $ 满足一个推广Painlevé V $ \sigma $-形式的PDE，在边缘极限下退化为 $ P_{V} $ 方程。
• 在软边附近缩放后的极限PDE允许因子化解 $ \widetilde{H}(x,y) = f(x) + g(y) $，其中 $ f $ 和 $ g $ 分别满足Painlevé II方程的 $ \sigma $-形式。
• 函数 $ f(x) $ 和 $ g(y) $ 分别对应于Tracy-Widom的左尾和右尾分布，确认极限联合密度为独立的Tracy-Widom分布的乘积。
• 通过PDE的缩放极限和因子化解结构，GUE和LUE中极端特征值的渐近独立性得到了分析性证明。
• 所推导的PDE对有限 $ n $ 是精确的，其缩放极限明确关联到随机矩阵理论中的已知普适分布。