[论文解读] Peak Estimation and Recovery with Occupation Measures

Jared Miller, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 20被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种基于占用测度的凸优化框架，用于求解动力系统的峰值估计问题，能够收敛至最优解，并通过秩亏的矩矩阵恢复近似最优轨迹。该方法进一步扩展至最大化最小值目标，用于安全分析，通过负安全裕度作为轨迹安全的证书，其收敛性由矩-SOS层次结构保证，并通过数值例子验证。

ABSTRACT

Peak Estimation aims to find the maximum value of a state function achieved by a dynamical system. This problem is non-convex when considering standard Barrier and Density methods for invariant sets, and has been treated heuristically by using auxiliary functions. A convex formulation based on occupation measures is proposed in this paper to solve peak estimation. This method is dual to the auxiliary function approach. Our method will converge to the optimal solution and can recover trajectories even from approximate solutions. This framework is extended to safety analysis by maximizing the minimum of a set of costs along trajectories.

研究动机与目标

• 提出一种基于占用测度的凸且收敛的非线性动力系统峰值估计方法。
• 通过秩亏的矩矩阵，从近似解中恢复近似最优轨迹。
• 将峰值估计方法扩展至最大化最小值目标，以实现鲁棒安全分析。
• 通过最大化最小值规划中的负最优值提供安全裕度，作为轨迹安全的证书。

提出的方法

• 将峰值估计问题表述为占用测度上的无限维线性规划（LP）。
• 利用矩-SOS层次结构，将无限维LP松弛为精度逐步提高的有限维半定规划（SDP）。
• 应用基于矩矩阵近似秩-1结构的恢复算法，以提取近似最优轨迹。
• 通过引入松弛变量和对偶变量，将框架扩展至最大化最小值目标，以约束多个代价函数的最小值。
• 为最大化最小值公式推导对偶问题，得到一个类似障碍函数的函数，用以验证安全性。
• 采用逐次提高阶数的LMI松弛，生成单调递减的上界序列，收敛于真实最优值。

实验结果

研究问题

• RQ1 占用测度能否为非线性常微分方程的峰值估计提供一种凸且收敛的公式化方法？
• RQ2 在占用测度框架下，如何从近似解中恢复近似最优轨迹？
• RQ3 峰值估计问题能否扩展为最大化多个代价函数的最小值，以实现鲁棒安全分析？
• RQ4 在最大化最小值松弛中，负的最优值能否作为轨迹安全的证书？
• RQ5 矩矩阵的秩亏在轨迹恢复中起什么作用？

主要发现

• 所提方法通过LMI松弛层次结构收敛至真实峰值值P∗，且随着阶数d增加，上界p∗d单调递减。
• 在d=3时，该方法在非自治系统(23)中对最大化最小值目标min(x1,x2)的上界达到0.3891，最优β=[0.647,0.353]表明代价性能达到平衡。
• 矩矩阵M1(y)的第二大特征值为2.943×10−6，表明其具有接近秩-1的结构，适合通过算法1实现轨迹恢复。
• 对于θ=5π/4的安全性示例，安全裕度p∗5=−0.1417<0，证明所有轨迹均保持在不安全区域之外。
• 在不安全情形（θ=3π/4）中，p∗5=0.1935>0，表明至少有一条轨迹进入了不安全区域，与视觉检查结果一致。
• 恢复算法成功提取了最大化最小值问题的近似最优轨迹，其中x∗p=[0.493,0.029]在t∗p=2.19处达到最小代价0.3891。