[论文解读] Penalising symmetric stable Lévy paths

Kouji Yano, Yuko Yano+1 more|ArXiv.org|Jul 27, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文为指数 $1 < \alpha \leq 2$ 的对称稳定 Lévy 过程建立了惩罚理论，引入了一个通用的 $\sigma$-有限测度 $\mathscr{P}$，统一了类似于布朗运动情形（$\alpha = 2$）的极限定理。通过在 $\mathscr{P}$ 下构造一个鞅生成器 $M_{t,x}(F)$，作者刻画了基于局部时和指数occupation时间的加权泛函的极限归一化测度，证明了几乎必然收敛性，并给出了超鞅的分解，该分解推广了布朗运动的惩罚框架。

ABSTRACT

Limit theorems for the normalized laws with respect to two kinds of weight functionals are studied for any symmetric stable Lévy process of index $ 1 &lt; α\le 2 $. The first kind is a function of the local time at the origin, and the second kind is the exponential of an occupation time integral. Special emphasis is put on the role played by a stable Lévy counterpart of the universal $ σ$-finite measure, found in [9] and [10], which unifies the corresponding limit theorems in the Brownian setup for which $ α=2 $.

研究动机与目标

• 将惩罚框架从布朗运动（$\alpha = 2$）推广至一般对称稳定 Lévy 过程，其指数满足 $1 < \alpha \leq 2$。
• 引入一个通用的 $\sigma$-有限测度 $\mathscr{P}$，作为布朗桥测度 $\mathscr{W}$ 的类比，统一不同加权泛函下的极限定理。
• 利用测度 $\mathscr{P}$ 刻画基于局部时和指数 occupation 时间的加权泛函的极限归一化测度。

提出的方法

• 引入一个新的 $\sigma$-有限测度 $\mathscr{P} = \frac{\Gamma(1/\alpha)}{\alpha\pi}\int_0^\infty \frac{du}{u^{1/\alpha}} Q^{(u)} \bullet P^h_0$，其中 $Q^{(u)}$ 为桥分布，$P^h_0$ 为 $|x|^{\alpha-1}$ 的 $h$-路径过程。
• 定义鞅生成器 $M_{t,x}(F)$ 为在 $\mathscr{P}_x$ 下对 $F$ 的 $P_x$-条件期望，确保 $M_{t,x}(F) \to 0$ $P_0$-几乎必然，且 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-几乎必然。
• 利用 Itô 的点迹测度 $n$ 和局部时 $L_t$ 对稳定过程进行分解，并通过在 $\{R > t\}$ 上对点迹测度进行归一化，推导出游荡分布 $M^{(t)}$。
• 证明：对任意非负 $\mathscr{P}_x$-可积泛函 $F$，过程 $M_{t,x}(F)$ 是一个非负的 $P_x$-鞅，满足 $P_x$-几乎必然收敛于零，且在 $\mathscr{P}$ 下归一化收敛于 $F$。
• 建立任意非负 $P_0$-超鞅的分解：包括一个鞅部分 $M_{t,x}(F)$，一个一致可积的鞅部分 $P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t]$，以及一个几乎必然且在归一化形式下趋于零的余项部分 $\xi_t$。
• 应用收敛关系 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-几乎必然，证明惩罚问题中的极限测度 $P^\Gamma_x$ 由 $P^\Gamma_x = \Gamma_\infty \cdot \mathscr{P}_x / \mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]$ 给出，从而刻画了极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一个类似于布朗运动情形下 $\mathscr{W}$ 的通用 $\sigma$-有限测度，统一对称稳定 Lévy 过程的惩罚问题？
• RQ2 对于基于局部时或指数 occupation 时间的加权泛函 $\Gamma_t$，归一化测度 $\Gamma_t \cdot P_x / P_x[\Gamma_t]$ 沿 $\mathcal{F}_s$ 是否在 $t \to \infty$ 时几乎必然收敛？
• RQ3 极限测度 $P^\Gamma_x$ 是否能通过在通用测度 $\mathscr{P}_x$ 下的鞅生成器 $M_{t,x}(F)$ 来刻画？
• RQ4 是否存在任意非负 $P_0$-超鞅的分解，其组成部分分别对应于 $\mathscr{P}$-可积泛函、$P_0$-可积的终端值，以及一个趋于零的余项部分？

主要发现

• 通用的 $\sigma$-有限测度 $\mathscr{P}$ 构造为 $\frac{\Gamma(1/\alpha)}{\alpha\pi}\int_0^\infty \frac{du}{u^{1/\alpha}} Q^{(u)} \bullet P^h_0$，为稳定 Lévy 过程提供了类似于布朗桥测度 $\mathscr{W}$ 的对应物。
• 对任意非负 $\mathscr{P}_x$-可积泛函 $F$，过程 $M_{t,x}(F)$ 是一个非负的 $P_x$-鞅，满足当 $t \to \infty$ 时 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-几乎必然，建立了关键的收敛性质。
• 惩罚问题中的极限测度 $P^\Gamma_x$ 被刻画为 $P^\Gamma_x = \Gamma_\infty \cdot \mathscr{P}_x / \mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]$，其中 $\Gamma_\infty$ 是 $\mathscr{P}_x$ 下 $\Gamma_t / \mu(t)$ 的几乎必然极限，从而证明了极限的存在性与形式。
• 任意非负 $P_0$-超鞅 $N_t$ 具有唯一分解 $N_t = M_t(F) + P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t] + \xi_t$，其中 $M_t(F)$ 是满足 $M_t(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-几乎必然的鞅，$P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t]$ 一致可积，且 $\xi_t/(1+h(X_t)) \to 0$ $\mathscr{P}$-几乎必然。
• 鞅生成器 $M_{t,x}(F)$ 满足 $P^\Gamma_x|_{\mathcal{F}_t} = \frac{M_{t,x}(\Gamma_\infty)}{\mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]} \cdot P_x|_{\mathcal{F}_t}$，为极限测度提供了路径层面的刻画。
• 利用收敛关系 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-几乎必然，证明了 $P^\Gamma_x$ 是归一化测度 $\Gamma_t \cdot P_x / P_x[\Gamma_t]$ 的唯一极限，从而在一般情形下完全解决了惩罚问题。