[论文解读] Penalization via global functionals of optimal-control problems for dissipative evolution

Lorenzo Portinale, Ulisse Stefanelli|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

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一句话总结

本文提出了一种针对由耗散演化方程控制的最优控制问题的惩罚方法，使用全局时间泛函（De Giorgi 和 Brezis-Ekeland-Nayroles）来强制执行微分约束。该方法在梯度系统、双非线性系统以及 GENERIC 系统中建立了惩罚泛函对约束问题的 Γ-收敛性，确保当惩罚参数趋于零时，最小化器收敛。

ABSTRACT

We consider an optimal control problem for an abstract nonlinear dissipative evolution equation. The differential constraint is penalized by augmenting the target functional by a nonnegative global-in-time functional which is null-minimized in the evolution equation is satisfied. Different variational settings are presented, leading to the convergence of the penalization method for gradient flows, noncyclic and semimonotone flows, doubly nonlinear evolutions, and GENERIC systems.

研究动机与目标

• 为抽象耗散演化方程的最优控制开发一种变分惩罚框架。
• 确保当惩罚参数 ε → 0 时，惩罚最小化器收敛于约束问题的解。
• 将该方法扩展至多种耗散系统，包括梯度流、双非线性系统以及 GENERIC 系统。
• 在不同变分结构（如凸与非凸势能）下建立惩罚方法的有效性。
• 为通过交替最小化或基于能量的优化进行数值实现提供统一的理论基础。

提出的方法

• 将目标泛函 F(u,y) 增广为一个非负全局泛函 G(u,y)，其仅在演化方程被满足时为零。
• 使用 De Giorgi 泛函 G_DG = ∫₀ᵀ [½‖y′‖² + ½‖∂ϕ(y)−u‖² − (u,y′)] dt + ϕ(y(T))−ϕ(y₀) 以变分形式惩罚残差。
• 在凸情形下采用 Brezis-Ekeland-Nayroles 泛函 G BEN = ∫₀ᵀ [ϕ(y) + ϕ*(u−y′) − (u,y)] dt + ½‖y(T)‖² − ½‖y₀‖²。
• 证明惩罚泛函 E_ε = F + (1/ε)G 沿 Γ-收敛于约束极限 E₀，其中 E₀ 定义为：若 G(u,y)=0 则为 F(u,y)，否则为 ∞。
• 利用弱与强紧性、G 的下确界连续性以及 F 的强制性，建立最小化器的存在性与收敛性。
• 将该框架应用于具体系统：梯度流、非循环/半单调流、双非线性演化，以及具有能量与熵结构的 GENERIC 系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在时间上全局的泛函（仅在方程被满足时为零）实现对耗散演化方程最优控制问题中微分约束的惩罚？
• RQ2 当 ε → 0 时，惩罚泛函 E_ε = F + (1/ε)G 是否收敛于约束问题，从而确保最小化器的收敛？
• RQ3 选择全局泛函（De Giorgi 与 Brezis-Ekeland-Nayroles）如何影响变分结构与数值可实施性？
• RQ4 该惩罚方法能否扩展至非凸势能及复杂系统（如 GENERIC）？
• RQ5 在不同拓扑与泛函设定下，E_ε 到 E₀ 的 Γ-收敛性需满足何种条件？

主要发现

• 在多种耗散系统中，惩罚泛函 E_ε 对约束极限 E₀ 的 Γ-收敛性已在弱与强拓扑下得到建立。
• 对于 De Giorgi 泛函，即使在非凸势能下收敛性依然成立，从而使其适用范围超越凸能量泛函。
• Brezis-Ekeland-Nayroles 泛函支持对 u 与 y 的独立凸性，有利于交替最小化算法的实现。
• 在 L²(0,T;H) × H¹(0,T;H) 上的强 × 弱收敛下，证明了 G_DG 的下确界连续性，确保最小化器的存在性。
• 该方法适用于 GENERIC 系统，如在具有能量与熵平衡的热化振子模型中所展示的。
• F 在 ϕ 的子水平集上的强制性确保了 y_ε 在 C([0,T];H) 中的强紧性，这对收敛性至关重要。