[论文解读] Pencils of genus two curves on rational surfaces

Shinya Kitagawa|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过有理曲面到 ℙ² 的双有理态射，识别出四类典型模型，对非极大 Picard 数的有理曲面上的二型曲线线丛进行分类。研究证明，仅存在四类平面曲线线丛——由次数与奇点类型表征——可实现最小次数，并构造出 Mordell-Weil 群为平凡的极小例子，且在每种情况下均确定了 Mordell-Weil 群的框架格（frame lattice）。

ABSTRACT

We consider relatively minimal fibrations of curves of genus two on rational surfaces whose Picard numbers are not maximal. By birational morphisms, such fibred surfaces are interpreted as pencils of plane curves. We show that only four are canonical, among a variety of possible models. For each canonical pencil, we give an example with trivial Mordell-Weil group.

研究动机与目标

• 对非极大 Picard 数的有理曲面上的二型曲线相对极小纤维化进行分类。
• 通过到 ℙ² 的双有理态射，识别此类纤维化的典型模型。
• 确定每类典型情形下 Mordell-Weil 格的结构。
• 为每类典型类型构造具有平凡 Mordell-Weil 群的极小例子。
• 识别出类似于椭圆情形中 E₈ 的 Mordell-Weil 群的候选“框架格”（frame lattices）

提出的方法

• 通过最小化与纤维 F 的交数，逐步对纤维曲面 X 进行 (-1)-曲线的收缩，实现从 X 到 ℙ² 的双有理态射。
• 应用 #-极小模型 的概念，以简化曲面并分类可能的配置。
• 利用相对 canonical 映射与 Horikawa 的分类，排除不可能的数值类型。
• 通过收缩 (-1)-曲线序列并分析所得像曲线的奇点，构造显式的双有理模型。
• 利用 Néron-Severi 群与正交分解，计算 Mordell-Weil 群并验证其平凡性。
• 应用 Cremona 变换，证明具有相同次数与奇点类型的不同的双有理模型彼此等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有理曲面上，哪些二型纤维化的双有理模型在 ℙ² 中的像曲线次数最小，从而可称为典型模型？
• RQ2 存在或不存在 (-1)-截面如何影响 Mordell-Weil 格的结构？
• RQ3 在到 ℙ² 的双有理态射下，此类纤维化的像曲线可能具有哪些奇点类型与次数？
• RQ4 在每类典型情形下，Mordell-Weil 格的最大可能形式为何？其与单模或奇格的关系如何？
• RQ5 能否为每类典型类型显式构造出具有平凡 Mordell-Weil 群的极小纤维化？

主要发现

• 对于非极大 Picard 数的纤维化，仅存在四类典型模型：(A) 次数 6 且含八个二重点；(B1) 次数 7 且含一个三重点与十个二重点；(B2) 次数 9 且含八个三重点与两个二重点；(C) 次数 13 且含一个五重点与九个四重点。
• 对每类典型模型，最小次数均可实现，且在 Cremona 等价意义下唯一，奇点类型完全相同。
• 在 (B2) 情形中，Mordell-Weil 格同构于单模的 E₈ 格；而在 (B1) 中则为奇格。
• 在 (C) 情形中，Mordell-Weil 格同构于最大格的子格的对偶，其最大秩为 6。
• 所有四类典型模型均存在具有平凡 Mordell-Weil 群的极小例子，其可约纤维的对偶图包含图 1–4 中的扩展 Dynkin 图。
• 存在 (-1)-截面会从根本上改变 Mordell-Weil 格的结构，如 (B1) 与 (B2) 之间的对比所示。