[论文解读] Pencils on Surfaces with Normal Crossings and the Kodaira Dimension of $\overline {\mathcal {M}}_{g,n}$

Daniele Agostini, Ignacio Barros|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文通过建立在具有法向交点的曲面上平滑线性系统族的准则，证明了 M12,6、M12,7、M13,4 和 M14,3 的无理曲化性，并为 M12,8 和 M16 的 Kodaira 维数提供了上界，表明其至多为 dim − 2。此外，本文还证明了 Hg,4g+5 是无理曲化，从而完成了具有负 Kodaira 维数的带点双椭圆模空间的分类。

ABSTRACT

We study smoothing of pencils of curves on surfaces with normal crossings. As a consequence we show that the canonical divisor of $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ is not pseudo-effective in some range, implying that $\overline{\mathcal{M}}_{12,6},\overline{\mathcal{M}}_{12,7},\overline{\mathcal{M}}_{13,4}$ and $\overline{\mathcal{M}}_{14,3}$ are uniruled. We provide upper bounds for the Kodaira dimension of $\overline{\mathcal{M}}_{12,8}$ and $\overline{\mathcal{M}}_{16}$. We also show that the moduli of $(4g+5)$-pointed hyperelliptic curves $\mathcal{H}_{g,4g+5}$ is uniruled. Together with a recent result of Schwarz, this concludes the Kodaira classification for moduli of pointed hyperelliptic curves.

研究动机与目标

• 建立在具有法向交点的可约曲面（S1 ∪ S2，其中 S1 和 S2 为有理曲面）上平滑线性系统族的一般准则，以分析 Mg,n 的 Kodaira 维数。
• 通过在典范法向交点曲面上构造适当的线性系统族，证明 M12,6、M12,7、M13,4 和 M14,3 是无理曲化。
• 利用 K3 曲面上的线性系统族，为 M12,8 的 Kodaira 维数提供上界 dim M12,8 − 2。
• 重新证明并改进 M16 的 Kodaira 维数上界，表明其至多为 dim M16 − 2。
• 通过证明 Hg,4g+5 是无理曲化，完成对具有负 Kodaira 维数的带点双椭圆模空间的分类。

提出的方法

• 使用李代数理论和奇异纤维的分析，发展在法向交点曲面 S1 ∪ S2（其中 S1 和 S2 为有理曲面）上平滑线性系统族的一般准则。
• 将平滑准则应用于 Pr 中的典范法向交点曲面，以研究在亏格 13 和 14 曲线上族的线性系统，将问题简化为分别理解每个分量上的线性系统族。
• 利用 K3 曲面上的线性系统族分析 M12,n，借助 Mukai 的构造方法，并计算与 Mg,n 上的典型类的交点数。
• 通过粘合映射 θ: Mg−1,n+2 → Mg,n 构造 Mg−1,n+2 上的 nef 曲线类 γ，并利用交点理论来界定 Kodaira 维数。
• 利用边界映射 θ: M15,2 → M16，将 M15,2 中的覆盖曲线前推至 M16，计算与 KM16 的交点数，以界定其 Kodaira 维数。
• 应用 [BDPP] 中的准则：若存在一个 nef 曲线类 γ 满足 (γ · KMg,n) < 0，则 KMg,n 不是伪有效，从而推出无理曲化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有法向交点的曲面上，线性系统族能否被平滑？何种条件可确保这种平滑？
• RQ2 如何利用模空间上的交点理论来界定 Mg,n 的 Kodaira 维数？
• RQ3 M12,8 和 M16 的 Kodaira 维数是多少？能否将其上界控制在空间维数以下？
• RQ4 带点双椭圆曲线的模空间 Hg,4g+5 是否为无理曲化？这是否完成了对具有负 Kodaira 维数的此类模空间的分类？
• RQ5 能否通过在典范法向交点曲面上构造线性系统族，来确立 M12,6、M12,7、M13,4 和 M14,3 的无理曲化性？

主要发现

• 通过在具有有理分量的典范法向交点曲面上构造线性系统族，证明了 M12,6、M12,7、M13,4 和 M14,3 是无理曲化。
• 利用通过粘合映射前推的 M11,10 上的 nef 曲线类，M12,8 的 Kodaira 维数上界为 dim M12,8 − 2。
• M16 的 Kodaira 维数上界为 dim M16 − 2，优于 [FV2] 中得到的 dim M16 − 1 的先前结果。
• 当 g ≥ 2 时，Hg,4g+5 是无理曲化，从而完成了对具有负 Kodaira 维数的带点双椭圆模空间的分类。
• 在某些范围内，canonical divisor KMg,n 不是伪有效，根据 [BDPP] 的准则，这表明相应模空间是无理曲化。
• 在法向交点曲面上平滑线性系统族的准则具有通用性，可能适用于曲线模空间的进一步问题。