[论文解读] Percolative properties of Brownian interlacements and its vacant set

Xinyi Li|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 3

一句话总结

该论文证明了在 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 3$）中的布朗运动穿插过程具有良好的连通性：几乎必然地，任意两个 $r$-香肠结构在穿插集合中可通过至多 $\lceil(d-2)/2\rceil$ 个中间香肠相连。此外，论文进一步证明了空集存在非平凡的渗滤相变，其临界阈值 $\alpha_r^* = \alpha_1^* r^{2-d}$ 将渗滤（当 $\alpha < \alpha_r^*$ 时）与非渗滤（当 $\alpha > \alpha_r^*$ 时）明确分隔开来。

ABSTRACT

In this article we investigate the percolative properties of Brownian interlacements, a model introduced by Alain-Sol Sznitman in arXiv:1209.4531, and show that: the interlacement set is "well-connected", i.e., any two "sausages" in $d$-dimensional Brownian interlacements, $d\geq 3$, can be connected via no more than $\lceil (d-4)/2 ceil$ intermediate sausages almost surely; while the vacant set undergoes a non-trivial percolation phase transition when the level parameter varies.

研究动机与目标

• 研究 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 3$）中布朗运动穿插过程的渗滤连通性，重点关注穿插集合的结构及其相交 $r$-香肠的图结构。
• 建立布朗运动穿插过程空集中随水平参数 $\alpha$ 变化而存在的非平凡渗滤相变。
• 确定空集中渗滤的临界阈值 $\alpha_r^*$，并分析其随半径 $r$ 变化的标度行为。
• 探讨空集中无界簇的唯一性以及相变的锐利性，借鉴离散随机穿插过程的相关方法。

提出的方法

• 构建一个随机几何图 $G_{\alpha,r}$，其中顶点代表布朗运动穿插过程中的轨迹，边连接那些 $r$-邻域相交的轨迹。
• 证明图 $G_{\alpha,r}$ 的直径几乎必然为 $\lceil(d-2)/2\rceil$，意味着任意两个香肠之间可通过至多 $\lceil(d-2)/2\rceil - 1$ 个中间香肠相连。
• 利用布朗运动穿插过程的标度性质，将半径为 $r$ 的临界阈值 $\alpha_r^*$ 与半径为 1 的阈值 $\alpha_1^*$ 联系起来，得到 $\alpha_r^* = \alpha_1^* r^{2-d}$。
• 采用多尺度重正化方案，利用嵌套方块 $B_k$，结合事件 $A_n^\alpha$ 与 $\widehat{A}_n^\alpha$ 来控制大区域内非渗滤的概率。
• 利用坏事件 $B_{k,x}^\alpha$ 与 $\overline{B}_{k,x}^\alpha$ 的概率指数衰减估计，证明当 $n \to \infty$ 时 $\mathbb{P}[(\widehat{A}_n^\alpha)^c] \to 0$，从而推出当 $\alpha < \widehat{\alpha}$ 时存在渗滤。
• 利用布朗运动的标度不变性及穿插过程的泊松性质，推导出临界阈值及其对 $r$ 的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在布朗运动穿插集合中，任意两个 $r$-香肠之间的最大图距离是多少？该距离是否随维度增加而增长？
• RQ2 随着水平参数 $\alpha$ 增大，布朗运动穿插过程的空集是否经历非平凡的渗滤相变？
• RQ3 空集渗滤的临界阈值 $\alpha_r^*$ 是否是锐利的？其随半径 $r$ 的标度行为如何？
• RQ4 在超临界区域中，空集中无界簇是否保持唯一？能否将离散随机穿插过程中的技术方法加以改编以证明这一点？
• RQ5 空集在截面 $F_R = \mathbb{R}^2 \times [0,R]^{d-2}$ 中的渗滤阈值与全空间阈值 $\alpha_r^*$ 有何关系？

主要发现

• 由布朗运动穿插过程中相交 $r$-香肠构成的图 $G_{\alpha,r}$ 的直径几乎必然为 $\lceil(d-2)/2\rceil$，证明了穿插集合具有有界路径长度的强连通性。
• 对所有 $\alpha, r > 0$，穿插集合 $\mathcal{I}_r^\alpha$ 几乎必然连通，这是图直径有界的直接推论。
• 空集 $\mathcal{V}_r^\alpha$ 在有限临界阈值 $\alpha_r^* = \alpha_1^* r^{2-d}$ 处经历非平凡的渗滤相变，当 $\alpha < \alpha_r^*$ 时发生渗滤，当 $\alpha > \alpha_r^*$ 时则不渗滤。
• 临界阈值 $\alpha_r^*$ 对所有 $r > 0$ 均为有限且严格正，并且其随 $r$ 的标度行为由依赖于维度的因子 $r^{2-d}$ 明确定义。
• 当 $\alpha < \widehat{\alpha}$ 时，空集不仅在 $\mathbb{R}^d$ 中渗滤，也在任意截面 $F_R = \mathbb{R}^2 \times [0,R]^{d-2}$ 中渗滤，表明在低维截面中渗滤具有鲁棒性。
• 结果表明 $\alpha_r^*$ 可能是锐利的，满足 $\widetilde{\alpha}_r \leq \alpha_r^*$，其中 $\widetilde{\alpha}_r$ 是平面中渗滤的阈值，且 $\lim_{R \to \infty} \widetilde{\alpha}_{R,r} = \alpha_r^*$，提示无界簇的几何结构可能存在相变。