[论文解读] Perelman's $W$-functional on manifolds with conical singularities

Xianzhe Dai, Changliang Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文在横截面的标量曲率超过 $n-2$ 的条件下，证明了在具有孤立锥形奇点的紧致黎曼流形上，佩雷尔曼的 $W$-泛函的下确界有限性及极小化器的存在性。通过加权索伯列夫空间与加权椭圆估计，证明了极小化器在奇点附近衰减快于 $r^{-\alpha}$，其中任意 $\alpha > \frac{n}{2} - 1$，从而将光滑紧致情形的理论推广至奇异情形。

ABSTRACT

In this paper, we develop the theory of Perelman's $W$-functional on manifolds with isolated conical singularities. In particular, we show that the infimum of $W$-functional over a certain weighted Sobolev space on manifolds with isolated conical singularities is finite, and the minimizer exists, if the scalar curvature satisfies certain condition near the singularities. We also obtain an asymptotic order for the minimizer near the singularities.

研究动机与目标

• 将佩雷尔曼 $W$-泛函的理论推广至具有孤立锥形奇点的紧致黎曼流形。
• 在加权索伯列夫空间框架下，建立 $W$-泛函下确界的有限性。
• 在横截面的曲率条件下，证明 $W$-泛函极小化器的存在性。
• 推导极小化器在锥形奇点附近精确的渐近衰减估计。

提出的方法

• 分析使用了针对锥形奇点设计的加权索伯列夫空间 $H^1(M)$，其通过奇点附近的权函数 $\chi$ 定义。
• 通过变分法中的直接法证明极小化器的存在性，依赖于加权索伯列夫嵌入的紧致性。
• 采用奇异流形上的对数索伯列夫不等式与 $L^2$ 索伯列夫不等式，以控制 $W$-泛函中的对数项。
• 应用加权椭圆估计与加权索伯列夫嵌入，推导极小化器的正则性与衰减估计。
• 通过迭代加权 $L^p$ 估计并利用 $W$-泛函的欧拉-拉格朗日方程结构，分析渐近行为。
• 证明依赖于度量的渐近锥形结构以及横截面 $N$ 上的标量曲率条件 $R_{h_0} > n-2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，佩雷尔曼 $W$-泛函在具有锥形奇点的流形上的下确界是有限的？
• RQ2 在具有此类奇点的流形上的加权索伯列夫空间中，$W$-泛函的极小化器是否存在？
• RQ3 极小化器在锥形奇点附近的精确渐近衰减率是什么？
• RQ4 加权索伯列夫估计与椭圆估计如何促进奇异空间上 $W$-泛函的分析？
• RQ5 光滑流形上 $W$-泛函的理论能否推广至具有受控曲率增长的奇异情形？

主要发现

• 若横截面的标量曲率满足 $R_{h_0} > n-2$，则对所有 $\tau > 0$，$W$-泛函的下确界是有限的。
• 极小化器 $u_0$ 属于 $C^\infty(M \setminus S)$，且在加权 $L^2$-归一化的 $W$-泛函中实现下确界。
• 在每个锥形奇点附近，极小化器满足 $u_0 = o(r^{-\alpha})$，当 $r \to 0$ 时，对任意 $\alpha > \frac{n}{2} - 1$ 成立。
• 通过迭代应用加权 $L^p$ 估计与锥形模型上的椭圆正则性，建立了衰减估计。
• 该结果依赖于模型锥面上的加权 $L^2$ 索伯列夫不等式与 Hardy 型不等式，这些不等式由经典加权不等式导出。
• 该分析通过用加权版本替代标准索伯列夫嵌入，将光滑紧致情形的理论扩展至处理奇点行为。