[论文解读] Perfect and Imperfect Gauge Fixing

A. Shirzad|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2006

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文使用逐链法对约束哈密顿系统中的规范固定进行了分类，根据规范条件在约束链中的施加位置，区分了完美与非完美的规范固定。完美规范固定通过将规范条件与每条链的最终约束共轭实现，消除了剩余对称性，并在无需额外约束的情况下确保一致性。非完美规范固定在链的中间层级施加，导致高层级约束未被固定，因此需要在物理态上施加附属条件。主要贡献在于建立了一个系统性框架，分析规范选择如何影响经典与量子理论中初始常数的数量和剩余对称性。

ABSTRACT

Gauge fixing may be done in different ways. We show that using the chain structure to describe a constrained system, enables us to use either a perfect gauge, in which all gauged degrees of freedom are determined; or an imperfect gauge, in which some first class constraints remain as subsidiary conditions to be imposed on the solutions of the equations of motion. We also show that the number of constants of motion depends on the level in a constraint chain in which the gauge fixing condition is imposed. The relativistic point particle, electromagnetism and the Polyakov string are discussed as examples and perfect or imperfect gauges are distinguished.

研究动机与目标

• 澄清规范固定、约束链与第一类约束系统中剩余对称性之间的关系。
• 基于规范条件在第一类约束链中施加的位置，识别并形式化完美与非完美规范固定的区别。
• 分析规范选择如何影响运动方程解中初始常数的数量。
• 证明非完美规范固定在经典与量子力学中均需在物理态上施加附属条件，而完美规范固定则不需要。
• 以该分类重新表述已知规范（如库仑、洛伦兹、光锥、协变规范），揭示其结构差异。

提出的方法

• 应用逐链法构建第一类约束链，其中每条链通过泊松括号生成：$\phi_{n+1} = \{\phi_n, H_c\}$，当 $\{\phi_N, H_c\} \approx 0$ 时终止。
• 将完美规范固定定义为将规范固定条件（GFCs）与每条链中最后一个约束（$\phi_N$）共轭施加，以确保所有生成元均被固定。
• 引入“规范固定层级”概念，即主规范条件在链中施加的位置，用以区分中间层级与末端层级。
• 利用规范变换的生成函数：$G = \sum_{s=1}^{N} (-1)^s \phi_s \frac{d^{N-s}\eta}{dt^{N-s}}$，表明时间的任意函数对应于链的长度。
• 通过狄拉克程序分析规范固定的一致性：$\dot{\omega}_i \approx 0$，若规范固定条件未正确共轭，则可能生成额外约束。
• 将该分类应用于具体模型：相对论性点粒子、电磁学（库仑与洛伦兹规范）以及玻色弦（协变与光锥规范），使用狄拉克括号与约束分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 规范固定在第一类约束链中的位置如何影响理论的一致性与物理内容？
• RQ2 在剩余对称性与附属条件需求方面，完美规范固定与非完美规范固定有何本质区别？
• RQ3 为何电磁学中的洛伦兹规范与库仑规范在本质上表现不同，这与链结构有何关联？
• RQ4 不同规范选择下，运动方程解中初始常数的数量如何变化，其决定因素是什么？
• RQ5 当使用非完美规范时，物理态必须通过额外约束投影到何种程度，这对量子化有何影响？

主要发现

• 完美规范固定发生在规范条件与每条第一类链的最终约束共轭时，确保所有规范生成元被固定，且无剩余对称性残留。
• 非完美规范固定指在链的中间层级施加条件，导致高层级约束未被固定，因此需在物理解上施加附属条件。
• 在完美规范中，解中初始常数的数量最小化，因为所有时间的任意函数均被完全固定。
• 电磁学中的洛伦兹规范被归类为“完全非完美”，因其直接固定拉格朗日乘子，但使所有第一类约束保持未固定，必须作为附属条件引入。
• 玻色弦中的光锥规范是完美规范，完全固定所有规范自由度，仅保留横向自由度，其狄拉克括号为 $\{X^i, P_j\}_{DB} = \delta^i_j \delta(\sigma - \sigma')$。
• 玻色弦中的协变（旧）规范为非完美规范，在量子理论中需在物理态上施加维拉索罗约束作为附属条件。