[论文解读] Perfect domination in rectangular grid graphs

Italo J. Dejter, Abel A. Delgado|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 28

一句话总结

本文提出了一种算法，用于在矩形网格图中确定完美支配集（PDS），通过在一边设定初始条件，利用剪枝决策树系统地构造PDS。主要贡献在于证明了在整数格点 $\Lambda$ 中存在唯一的全完美码 $S_1$，其补集形成具有 $D_8$ 对称性的非周期性密铺，类似于彭罗斯密铺，并表明所有有限网格图的PDS均为 $S_1$ 的限制。

ABSTRACT

A dominating set $S$ in a graph $G$ is said to be perfect if every vertex of $G$ not in $S$ is adjacent to just one vertex of $S$. Given a vertex subset $S'$ of a side $P_m$ of an $m imes n$ grid graph $G$, the perfect dominating sets $S$ in $G$ with $S'=S\cap V(P_m)$ can be determined via an exhaustive algorithm $Θ$ of running time $O(2^{m+n})$. Extending $Θ$ to infinite grid graphs of width $m-1$, periodicity makes the binary decision tree of $Θ$ prunable into a finite threaded tree, a closed walk of which yields all such sets $S$. The graphs induced by the complements of such sets $S$ can be codified by arrays of ordered pairs of positive integers via $Θ$, for the growth and determination of which a speedier %greedy algorithm exists. %and their periodic structure, further studied. A recent characterization of grid graphs having total perfect codes $S$ (with just 1-cubes as induced components), due to Klostermeyer and Goldwasser, is given in terms of $Θ$, which allows to show that these sets $S$ are restrictions of only one total perfect code $S_1$ in the integer lattice graph $Λ$ of $\R^2$. Moreover, the complement $Λ-S_1$ yields an aperiodic tiling, like the Penrose tiling. In contrast, the parallel, horizontal, total perfect codes in $Λ$ are in 1-1 correspondence with the doubly infinite $\{0,1\}$-sequences.

研究动机与目标

• 解决在网格图中存在初始顶点约束时寻找完美支配集（PDS）的计算挑战。
• 表征有限和无限网格图中全完美码（TPC）的存在性与结构。
• 建立有限网格图PDS与无限整数格点 $\Lambda$ 中单一通用全完美码之间的联系。
• 分析 $\Lambda$ 中全完美码 $S_1$ 补集的密铺性质，特别是其对称性与非周期性。
• 提供一种算法框架，利用递归与周期性扩展原理，生成并分类网格图中的PDS。

提出的方法

• 开发了一种穷举算法 $\Theta$，时间复杂度为 $O(2^{m+n})$，用于在给定一边初始子集 $S'$ 的 $m \times n$ 网格图中确定所有完美支配集 $S$。
• 通过利用周期性，将 $\Theta$ 扩展至宽度为 $m-1$ 的无限网格图，通过剪枝将无限二叉决策树简化为有限的线性树结构。
• 使用线性树结构（以闭合路径表示）系统地枚举周期性网格图中所有有效PDS。
• 将每个PDS的补集编码为有序正整数对数组，从而实现此类集合的高效生成与判定。
• 将算法 $\Theta$ 应用于重新推导并重新诠释 Klostermeyer 与 Goldwasser 关于网格图中全完美码的表征结果。
• 通过坐标变换与对称性分析（如 $D_8$ 群）证明 $\Lambda$ 中的通用全完美码 $S_1$ 唯一，并生成非周期性密铺。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定一边初始子集 $S'$ 的矩形网格图 $G$ 中，完美支配集 $S$ 在何种条件下存在？
• RQ2 所有有限 $m \times n$ 网格图中的全完美码是否均可作为无限整数格点 $\Lambda$ 中单一全完美码的限制？
• RQ3 整数格点 $\Lambda$ 中全完美码 $S_1$ 的补集会呈现出何种对称性与密铺性质？
• RQ4 如何将算法 $\Theta$ 适配于无限周期性网格，以高效生成所有有效PDS？
• RQ5 有限网格图中PDS的结构与 $\Lambda$ 中存在一个通用PDS之间存在何种关系？

主要发现

• 算法 $\Theta$ 在给定一边初始子集 $S'$ 的 $m \times n$ 网格图中成功确定了所有完美支配集，时间复杂度为 $O(2^{m+n})$。
• 网格图一边上可接受的初始子集 $S'$ 必须满足其各分量之间至少相距3个单位，以确保无顶点被两个分量同时支配。
• 整数格点 $\Lambda$ 中全完美码 $S_1$ 的补集形成一种无平移对称性但具有 $D_8$ 二面体对称性的非周期性密铺。
• 所有在 $m,n > 2$ 的有限 $m \times n$ 网格图中的全完美码均为无限整数格点 $\Lambda$ 中单一通用全完美码 $S_1$ 的限制。
• $\Lambda - S_1$ 形成的密铺由特定PDS数组条目（23,32）和（12,21,13,31）构成的“房间”与“楼梯”组成，其结构与彭罗斯密铺具有类比性。
• 在 $\Lambda$ 中的平行全完美码与双无穷 $\{0,1\}$-序列之间存在一一对应关系，表明存在不可数无穷多个此类码，尽管仅有一个在有限网格限制下具有全局一致性。