[论文解读] Perfect Mannheim, Lipschitz and Hurwitz weight codes

Murat Güzeltepe|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文利用曼海姆度量、利普希茨度量和哈密顿度量，研究了高斯整数、利普希茨整数与哈密顿整数上的完美码的存在性与非存在性。文中建立了码参数的上界，并证明了在所有三种度量下，存在可纠正权重为1的错误的完美码，但在给定约束条件下，不存在可纠正权重为2或以上的完美码。

ABSTRACT

In this paper, upper bounds on codes over Gaussian integers, Lipschitz integers and Hurwitz integers with respect to Mannheim metric, Lipschitz and Hurwitz metric are given.

研究动机与目标

• 确定在曼海姆、利普希茨与哈密顿度量下，高斯整数、利普希茨整数与哈密顿整数上的完美码的存在性与非存在性。
• 在各自度量下，为这些整数环上的码建立码大小与最小距离的上界。
• 研究在这些度量下，是否存在可纠正权重为1或2的错误的完美码，特别是在基于QAM的编码调制背景下。
• 通过代数数环将完美码理论从汉明与李度量扩展至非域字母表。
• 在四元数与复整数环的背景下，提供完美码的新构造方法与非存在性结果。

提出的方法

• 基于高斯整数、利普希茨整数与哈密顿整数上的加权L1范数，定义曼海姆、利普希茨与哈密顿度量。
• 使用球体打包界推导完美码的必要条件，将有界权重的错误向量数与陪集数相等。
• 枚举有限商环 $\mathcal{H}_{\pi}$ 与 $H(\mathbb{Z})_{\pi}$ 上哈密顿权重为1和2的所有错误向量，考虑不同的非零分量及其代数取值。
• 应用条件 $ (2p^2 - 1)^{n-k} \geq 50n^2 + 10n + 1 $ 于 $\mathcal{H}_{\pi}$ 与 $17^{n-k} \geq 50n^2 - 34n + 1$ 于 $\mathcal{H}_{1+e_1+e_2}$，以判断完美码的可行性。
• 利用代数数论，通过模一个四元数素数或高斯素数的右同余关系，定义商环 $G_\pi$、$H(\mathbb{Z})_\pi$ 与 $\mathcal{H}_\pi$。
• 验证完美码方程在权重为2时的唯一整数解为 $n=1, k=0$，该解不可行，从而证明非存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高斯整数上，是否存在可纠正曼海姆权重为1的错误的完美码？
• RQ2 在利普希茨整数上，是否存在可纠正利普希茨权重为1的错误的完美码？
• RQ3 在哈密顿整数上，是否存在可纠正哈密顿权重为1的错误的完美码？
• RQ4 在相应的整数环上，是否存在可纠正曼海姆、利普希茨或哈密顿权重为2的错误的完美码？
• RQ5 在这些度量下，完美码存在的码参数 $n$、$k$ 与 $p$ 的必要条件是什么？

主要发现

• 在高斯整数 $G_\pi$ 上存在可纠正曼海姆权重为1的错误的完美码，其参数如 $(2400, 2398)$、$(5764800, 5764796)$ 等。
• 在利普希茨整数 $H(\mathbb{Z})_\pi$ 上存在可纠正利普希茨权重为1的错误的完美码，扩展了已知结果至非域字母表。
• 在哈密顿整数 $\mathcal{H}_\pi$ 上存在可纠正哈密顿权重为1的错误的完美码，其参数由球体打包条件导出。
• 在 $\mathcal{H}_{1+e_1+e_2}$ 上不存在可纠正哈密顿权重为2或更小的完美码，因为方程 $17^{n-k} = 50n^2 - 34n + 1$ 的唯一解为 $n=1, k=0$，该解不可行。
• 在 $\mathcal{H}_\pi$ 上，当 $\pi\pi^* = p \geq 17$ 时，不存在可纠正哈密顿权重为2或更小的完美码，因为在 $n \leq 1000000$、$n-k \leq 23$ 范围内，方程 $ (2p^2 - 1)^{n-k} = 50n^2 + 10n + 1 $ 无整数解。
• 本文首次提供了在哈密顿度量下基于哈密顿整数的完美码的已知构造，并证明了更高错误权重下的非存在性。