[论文解读] Perfect plasticity with damage and healing at small strains, its modelling, analysis, and computer implementation

Tomáš Roubı́ček, Jan Valdman|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Elasticity and Material Modeling参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文提出一种变分模型，结合小应变下的理想塑性与梯度增强的可逆（愈合）损伤，实现地球物理背景下断层破裂与愈合循环的模拟。采用分数步时间离散化与有限元方法，证明了弱解的存在性，并在 MATLAB 中实现该模型，使用拟牛顿法与二次规划求解器，实现了能量平衡与力响应的稳定、收敛模拟。

ABSTRACT

The quasistatic, Prandtl-Reuss perfect plasticity at small strains is combined with a gradient, reversible (i.e. admitting healing) damage which influences both the elastic moduli and the yield stress. Existence of weak solutions of the resulted system of variational inequalities is proved by a suitable fractional-step discretisation in time with guaranteed numericalstability and convergence. After finite-element approximation, this scheme is computationally implemented and illustrative 2-dimensional simulations are performed. The model allows e.g. for application in geophysical modelling of re-occurring rupture of lithospheric faults. Resulted incremental problems are solved in MATLAB by quasi-Newton method to resolve elastoplasticity component of the solution while damage component is obtained by solution of a quadratic programming problem.

研究动机与目标

• 模拟被宽广的可逆损伤区包围的狭窄塑性剪切带，以模拟岩石圈断层的重复破裂行为。
• 通过时间离散的分数步方案，严格证明耦合变分不等式系统的弱解存在性，确保稳定性与收敛性。
• 开发一种计算高效的有限元实现方法，分别采用拟牛顿法求解弹塑性部分，二次规划方法求解损伤部分。
• 实现能量平衡与机械响应的数值模拟，适用于不同损伤黏度条件，具备在多尺度地球物理应用中采用自适应时间步长的潜力。

提出的方法

• 构建一个结合普兰特尔-儒伊斯理想塑性与梯度损伤力学的小应变模型，其中弹性模量与屈服应力均依赖于标量损伤变量。
• 引入一种率相关、可逆的损伤模型，支持愈合过程，并引入高阶项以防止完全损伤，确保数学可处理性。
• 采用分数步时间离散化方法解耦弹塑性与损伤演化，确保数值稳定性，并保证收敛至弱解。
• 采用有限元方法进行空间离散化，弹塑性子问题通过拟牛顿法求解，损伤子问题通过二次规划方法求解。
• 使用包含应变梯度项的存储能泛函，对塑性和损伤局域化进行正则化，模拟表面能效应。
• 通过二维模拟对格式进行数值验证，评估不同时间步长与损伤黏度下的能量平衡、力响应与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个在小应变下结合理想塑性与可逆、梯度增强损伤的模型，实现剪切带中的局域化与损伤的愈合？
• RQ2 时间离散的分数步方案是否能确保所得到的变分不等式系统具有数值稳定性与弱解的收敛性？
• RQ3 损伤黏度的选择如何影响机械响应，特别是破裂的触发时机与传播速度？其是否收敛至无黏性、率无关的极限状态？
• RQ4 在模拟中，离散能量平衡在多大程度上得以满足？后验误差指示器是否可用于指导多尺度地球物理过程的自适应时间步长？

主要发现

• 该模型成功捕捉了被宽广损伤区包围的狭窄塑性剪切带的形成，与地球物理断层核心结构一致。
• 数值模拟显示，能量平衡（3.9c）随时间步长 τ 减小而趋近理论能量等式（2.11c），最佳收敛性出现在 τ = 1 ks 时。
• 即使能量平衡存在间隙，反力响应仍表现出良好收敛性，表明机械响应预测具有鲁棒性。
• 降低损伤黏度（如 a₂ = 1 kPa·s）可导致更早破裂与更快传播，表明其收敛至无黏性、率无关损伤模型的极限。
• 后验能量残差可用于指导自适应时间步长，实现对时间尺度差异显著的过程（如快速破裂与缓慢愈合）的高效模拟。
• 采用拟牛顿法与二次规划求解器的 MATLAB 实现，有效解耦并求解弹塑性与损伤部分，表现出良好的稳定性与收敛性。