[论文解读] Perfect Powers: Pillai's works and their developments

Michel Waldschmidt|ArXiv.org|Aug 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 79被引用 12

一句话总结

本文综述了 S. S. Pillai 在涉及完全幂的丢番图方程方面的奠基性工作，特别是方程 $a^x - b^y = k$，并确立了对于固定的 $k$，在整数 $x, y \geq 2$ 下解的个数是有限的——这一猜想如今被称为 Pillai 猜想。本文将该猜想与 $abc$ 猜想、卡塔兰方程以及费马-卡塔兰方程等重大开放问题联系起来，并表明 $abc$ 猜想的改进形式可推出 Pillai 猜想以及理想 Waring 定理。

ABSTRACT

After a short introduction to Pillai's work on Diophantine questions, we quote some later developments and we discuss related open problems.

研究动机与目标

• 总结并 contextualize S. S. Pillai 在涉及完全幂的丢番图方程方面的贡献。
• 考察 Pillai 猜想：对于任意固定的 $k \geq 1$，方程 $a^x - b^y = k$ 在 $x, y \geq 2$ 的整数解中仅有有限多个。
• 探讨 Pillai 猜想对相关问题（如卡塔兰方程、Beal 方程以及费马-卡塔兰方程）的影响。
• 研究 Pillai 猜想与 $abc$ 猜想之间的联系，及其在证明理想 Waring 定理中的作用。
• 分析通过 $abc$ 猜想对 Pillai 猜想的定量改进，及其对 Waring 问题的影响。

提出的方法

• 综述 Pillai 在 1931–1945 年间关于指数型丢番图不等式与方程的原始成果，特别是 $a^x - b^y = c$。
• 应用 Siegel 定理与 Thue 不等式，对固定 $a, b, c$ 的 $a^x - b^y = c$ 的解的个数进行有界。
• 利用 $abc$ 猜想推导 $a^x - b^y = k$ 的解的个数的定量界，表明在该假设下解的个数是有限的。
• 在 $abc$ 的根（radical）背景下分析 $abc$ 猜想，以推导 Waring 问题中 $g(k)$ 的界。
• 通过证明若 $abc$ 猜想以某一特定指数 $\theta$ 成立，则对所有充分大的 $k$ 有 $g(k) = I(k)$，从而建立 $abc$ 猜想与理想 Waring 定理之间的联系。
• 利用对数形式与对数的线性形式，对 $|3^x - 2^y| = c$ 的解的个数进行估计的改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意固定的 $k \geq 1$，丢番图方程 $a^x - b^y = k$ 是否在整数 $x, y \geq 2$ 下仅有有限多个解？
• RQ2 $abc$ 猜想如何推出 Pillai 猜想，以及如何保证 $a^x - b^y = k$ 的解的有限性？
• RQ3 Pillai 猜想与理想 Waring 定理之间有何联系，特别是与 $g(k) = I(k)$ 的关系？
• RQ4 若 $abc$ 猜想以特定指数 $\theta$ 成立，是否可保证对所有充分大的 $k$ 有 $g(k) = I(k)$？
• RQ5 对数形式与对数的线性无关性在控制指数型丢番图方程（如 $|3^x - 2^y| = c$）的解的个数中起什么作用？

主要发现

• Pillai 在 1936 年与 1945 年提出猜想：对于任意固定的 $k \geq 1$，方程 $a^x - b^y = k$ 在 $x, y \geq 2$ 的整数解中仅有有限多个，这等价于相邻完全幂之间的距离趋于无穷。
• 对于固定的 $a, b, c$ 满足 $\gcd(a,b) = 1$ 且 $a > b \geq 1$，Pillai 证明了当 $|c| > c_0(a,b)$ 时，$|a^x - b^y| = c$ 至多有一个解，尽管 $c_0(a,b)$ 并未显式计算。
• Stroeker 与 Tijdeman（1982）证实了 $c_0(3,2) = 13$ 的猜想，表明当 $c > 13$ 时，$|3^x - 2^y| = c$ 至多有一个解。
• $abc$ 猜想可推出 Pillai 猜想：若 $abc$ 类型的界以指数 $\theta < \log 3 / (2 \log(3/2))$ 成立，则对所有充分大的 $k$ 有 $g(k) = I(k)$。
• 在特定 $\theta$ 的 $abc$ 猜想下，理想 Waring 定理对所有 $k \geq k_0$ 成立，其中 $k_0$ 以 $\theta$ 与 $\kappa$ 显式有界。
• 对大 $k$ 的理想 Waring 定理的证明依赖于证明在 $3^k = 2^k q + r$ 中的余数 $r$ 满足 $r \leq 2^k - q - 3$，而该不等式由具有合适 $\theta$ 的 $abc$ 猜想所蕴含。