[论文解读] Perfect sampling algorithm for Schur processes

Dan Betea, Cédric Boutillier+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 23被引用 15

一句话总结

本文提出了一种针对舒尔过程（Schur processes）的多项式时间完美采样算法——这是一类包括平面分拆、阿兹特克方块镶嵌和金字塔分拆在内的组合对象——该算法基于柯西恒等式与利特尔伍德恒等式的统一双射证明，以及福明（Fomin）的生长图框架。该算法具有熵最优性，仅需最少的随机位数，且推广了RSK算法与多米诺牌洗牌算法，实现了高效采样，并揭示了镶嵌模型中的新极限形状现象。

ABSTRACT

We describe random generation algorithms for a large class of random combinatorial objects called Schur processes, which are sequences of random (integer) partitions subject to certain interlacing conditions. This class contains several fundamental combinatorial objects as special cases, such as plane partitions, tilings of Aztec diamonds, pyramid partitions and more generally steep domino tilings of the plane. Our algorithm, which is of polynomial complexity, is both exact (i.e. the output follows exactly the target probability law, which is either Boltzmann or uniform in our case), and entropy optimal (i.e. it reads a minimal number of random bits as an input). The algorithm encompasses previous growth procedures for special Schur processes related to the primal and dual RSK algorithm, as well as the famous domino shuffling algorithm for domino tilings of the Aztec diamond. It can be easily adapted to deal with symmetric Schur processes and general Schur processes involving infinitely many parameters. It is more concrete and easier to implement than Borodin's algorithm, and it is entropy optimal. At a technical level, it relies on unified bijective proofs of the different types of Cauchy and Littlewood identities for Schur functions, and on an adaptation of Fomin's growth diagram description of the RSK algorithm to that setting. Simulations performed with this algorithm suggest interesting limit shape phenomena for the corresponding tiling models, some of which are new.

研究动机与目标

• 开发一种通用、精确且熵最优的舒尔过程采样算法，该类随机组合对象包括镶嵌与整数分拆。
• 在单一算法框架下统一现有的采样方法，例如用于平面分拆的RSK与用于阿兹特克方块的多米诺牌洗牌。
• 将该算法扩展至对称舒尔过程及涉及无穷多参数的推广形式，以实现对称镶嵌与过部分拆的采样。
• 提供一种计算高效的多项式时间复杂度方法，仅读取目标分布所要求的最少随机位数。
• 通过该算法支持的大规模模拟，揭示镶嵌模型中新的极限形状现象。

提出的方法

• 该算法基于福明对RSK对应关系的描述，采用生长图框架，并将其适配至舒尔过程设定，使用交错的分拆序列。
• 其正确性与效率依赖于舒尔函数的柯西恒等式与利特尔伍德恒等式的双射证明。
• 输入由几何分布或伯努利随机变量及随机位组成，以图形化、图示化形式表示底层概率测度。
• 该算法具有熵最优性，仅使用生成目标分布精确样本所必需的最少随机位数。
• 对于对称舒尔过程，该方法适配至利特尔伍德恒等式，推广了对称RSK算法，实现了自由边界镶嵌的采样。
• 该框架被扩展至极限情形，如普朗切尔测度与混合参数模型，在这些情形下，算法收敛至具有指数时钟的连续时间动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为整个舒尔过程类（包括平面分拆与阿兹特克方块镶嵌）构建一个单一、高效且熵最优的采样算法？
• RQ2 如何在统一的组合框架下将RSK算法与多米诺牌洗牌算法统一起来？
• RQ3 舒尔过程构型的极限形状行为是什么？能否通过大规模采样实验加以经验发现？
• RQ4 该算法能否推广至对称舒尔过程及其他涉及无穷多参数的变体？
• RQ5 该算法的动力学与已知的连续时间过程（如博罗丁-费拉里动力学中由指数时钟控制的过程）之间存在何种关系？

主要发现

• 所提出的SchurSample算法实现了多项式时间复杂度下的完美采样，且随机性最小化，兼具精确性与熵最优性。
• 该算法同时推广了基于RSK的平面分拆采样与基于多米诺牌洗牌的阿兹特克方块采样，统一了两种主要的组合采样方法。
• 利用该算法进行的模拟揭示了镶嵌模型中新的极限形状现象，包括此前未观察到的陡峭多米诺牌镶嵌与金字塔分拆的行为。
• 在普朗切尔极限下，该算法退化为经典RSK对应的泊松化版本，恢复了福明的生长图描述。
• 对于混合参数模型，该算法在经典RSK与RSK型动力学之间插值，与奥康奈尔的泊松化RS双射及博罗丁-费拉里连续时间动力学一致。
• 该方法自然地扩展至对称舒尔过程，通过基于利特尔伍德恒等式的改进，实现了对称平面分拆与过部分拆的采样。