[论文解读] Perfect sampling from spatial mixing

Weiming Feng, Heng Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 39被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对自旋系统中吉布斯分布的新型完美采样算法，在相关性衰减速度快于邻域增长速度时，该算法的期望运行时间为线性时间。该算法利用条件独立性和空间混合性质，实现了高效且可中断的采样，在强空间混合条件下，对晶格图如$\mathbb{Z}^d$具有最优性能。

ABSTRACT

We introduce a new perfect sampling technique that can be applied to general Gibbs distributions and runs in linear time if the correlation decays faster than the neighborhood growth. In particular, in graphs with sub-exponential neighborhood growth like $\mathbb{Z}^d$, our algorithm achieves linear running time as long as Gibbs sampling is rapidly mixing. As concrete applications, we obtain the currently best perfect samplers for colorings and for monomer-dimer models in such graphs.

研究动机与目标

• 开发一种针对一般吉布斯分布的高效且可中断的完美采样算法。
• 建立空间混合性质与线性时间完美采样之间的联系。
• 将高效完美采样扩展至吉布斯分布随时间动态变化的场景。
• 在$\mathbb{Z}^d$上的著名模型（如图染色和单体-二聚体系统）中实现最优运行时间。
• 通过超图自旋系统将该方法推广至多体相互作用情形。

提出的方法

• 该算法采用基于局部邻域的分块更新策略，每次更新在随机选择的顶点周围半径为$\ell$的球内执行。
• 维护一个集合$\mathcal{R}$，其中包含可能需要重新采样的顶点，系统更新后初始化为$\mathcal{D} \cup \partial\mathcal{D}$。
• 在每一步中，从$\mathcal{R}$中均匀随机选择一个顶点$u$，并基于当前边界值条件重新采样其$\ell$-邻域的配置。
• 重新采样步骤采用拒绝采样法，利用条件概率的下界以确保正确性并保持目标分布。
• 通过吉布斯分布的条件独立性性质保证正确性，并在算法终止时保证获得精确样本。
• 该算法是可中断的：任何中间终止状态仍能产生目标分布的正确样本。

实验结果

研究问题

• RQ1 在空间混合条件下，能否实现一般吉布斯分布的线性时间完美采样？
• RQ2 当相关性衰减速率超过邻域增长速度时，空间混合是否意味着高效完美采样？
• RQ3 能否使该算法具备可中断性，并高效适应系统中的动态变化？
• RQ4 能否将该方法扩展至具有多体相互作用的系统？
• RQ5 在空间混合条件下，$\mathbb{Z}^d$上的图染色和单体-二聚体模型的完美采样时间复杂度是多少？

主要发现

• 当强空间混合的衰减速率快于邻域增长时，对于具有次指数邻域增长的图（如$\mathbb{Z}^d$），该算法的期望运行时间为$O(n)$。
• 对于晶格图如$\mathbb{Z}^d$，若吉布斯采样器的混合时间为$O(n\log n)$，则该算法可实现线性时间复杂度。
• 该算法是可中断的：任何早期终止仍能产生目标分布的正确样本。
• 该算法支持系统动态更新，在更新后模型的空间混合条件下仍能保持完美采样的高效性。
• 该方法可推广至具有多体相互作用的超图自旋系统，前提是采用适当变体的空间混合性质。
• 该方法为$\mathbb{Z}^d$上的列表染色和单体-二聚体模型提供了目前最优的完美采样器。