[论文解读] Perfect state transfer of quantum walks on quotient graphs

Rachel Elizabeth Bachman, Eric Fredette+5 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文证明了在商图上量子行走的完美态传输在等权划分下保持该性质，从而实现了在非对称顶点间实现完美态传输的图的构造。本文证明了商图的笛卡尔积同构于原图笛卡尔积的商图，为多任意子量子行走构造提供了代数基础。

ABSTRACT

We prove new results on perfect state transfer of quantum walks on quotient graphs. Since a graph $G$ has perfect state transfer if and only if its quotient $G/\pi$, under any equitable partition $\pi$, has perfect state transfer, we exhibit graphs with perfect state transfer between two vertices but which lack automorphism swapping them. This answers a question of Godsil (Discrete Mathematics 312(1):129-147, 2011). We also show that the Cartesian product of quotient graphs $\Box_{k} G_{k}/\pi_{k}$ is isomorphic to the quotient graph $\Box_{k} G_{k}/\pi$, for some equitable partition $\pi$. This provides an algebraic description of a construction due to Feder (Physical Review Letters 97, 180502, 2006) which is based on many-boson quantum walk.

研究动机与目标

• 解决Godsil（2011）提出的问题：是否存在在任意自同构下不互换的顶点之间存在完美态传输的图。
• 建立图与其任意等权划分下商图之间完美态传输的对应关系。
• 提供商图笛卡尔积的代数表征，将其与原图笛卡尔积的商图联系起来。
• 通过商图为Feder（2006）的多任意子量子行走构造提供形式化的代数描述。

提出的方法

• 利用图的等权划分理论定义商图，保留与量子行走相关的谱性质。
• 应用图与其商图之间完美态传输的等价性，借助谱图论。
• 利用图的笛卡尔积结构，证明对于合适的等权划分 $\pi$，有 $\Box_k G_k / \pi$ 同构于 $\Box_k (G_k / \pi_k)$。
• 使用矩阵代数与特征值分析，证明商图的邻接矩阵反映了原图的动力学行为。
• 依赖已知的完美态传输与谱分解结果，证明该性质在取商后保持不变。
• 将商图的代数结构与物理量子行走模型联系起来，特别是Feder工作中的多任意子系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个不被任何自同构互换的顶点之间，是否可能发生完美态传输？
• RQ2 图中存在完美态传输是否意味着其任意等权划分下的商图也存在完美态传输？
• RQ3 在相容的等权划分下，商图的笛卡尔积是否同构于原图笛卡尔积的商图？
• RQ4 能否为通过商图构造多任意子量子行走提供代数表征？
• RQ5 在量子行走动力学背景下，图的谱性质与其商图之间存在何种关系？

主要发现

• 本文确认了即使两个顶点并非彼此的自同构像，完美态传输仍可在图中发生，从而肯定地回答了Godsil的问题。
• 证明了图 $G$ 存在完美态传输当且仅当其任意等权划分 $\pi$ 下的商图 $G/\pi$ 也存在完美态传输。
• 对于特定的等权划分 $\pi$，商图的笛卡尔积 $\Box_k G_k / \pi_k$ 同构于 $\Box_k G_k / \pi$，建立了结构等价性。
• 该同构关系为Feder的多任意子量子行走构造提供了代数框架，此前该构造仅基于物理直觉描述。
• 结果表明，商图上量子行走的动力学完全由等权划分下保持的谱性质决定。
• 该框架使得即使在传输顶点之间无自同构交换的情况下，也能系统地构造出具有完美态传输的图。