[论文解读] Perfectly matched layer for second-order time-domain elastic wave equation: formulation and stability

Hisham Assi, R.S.C. Cobbold|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2013

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于二维各向异性固体弹性波模拟的紧凑型二阶时域完美匹配层（PML）公式，采用具有双参数拉伸函数的复坐标拉伸方法。通过增加缩放参数，该方法在不稳定各向异性介质中实现了优异的稳定性，仅使用六个方程（两个二阶偏微分方程和四个辅助方程）显著降低了计算成本，并实现了最小数值反射的长期稳定模拟。

ABSTRACT

A time domain system of equations is proposed to model elastic wave propagation in an unbounded two-dimensional anisotropic solid using perfectly matched layer (PML). Starting from a system of first-order frequency domain stress-velocity equations and using complex coordinate stretching approach with a two-parameter stretch function, a second-order formulation is obtained. The final system, which consists of just two second order equations along with four auxiliary equations, is smaller than existing formulations, thereby simplifying the problem and reducing the computational cost. The discrete stability of the solutions for a given mesh size is examined with the help of a plane-wave analysis of the corresponding continuous problem. It is shown that increasing the scaling parameter of the stretch function leads to significant stability improvements for certain anisotropic media that have known issues. Numerical computations for different isotropic and anisotropic media are used to illustrate the results.

研究动机与目标

• 解决在无界弹性波模拟中因使用稳定PML方法而产生的虚假反射问题。
• 通过最小化时域PML公式的方程数量，降低计算成本并简化实现过程。
• 改善已知在经典PML公式中不稳定的各向异性介质中的离散稳定性。
• 提供一种简单有效的方法，通过调整缩放参数来增强稳定性，而无需复杂的多参数调优。

提出的方法

• 从一阶频域应力-速度方程出发，利用具有双参数拉伸函数的复坐标拉伸方法，推导出二阶时域偏微分方程系统。
• 引入四个辅助方程以保持二阶结构并支持时域实现。
• 采用平面波分析评估离散稳定性，并识别PML区域内的不稳定模态。
• 采用可变缩放参数（α̃j），使其从1增加到更高值（如20、90），以抑制不稳定的波模态。
• 使用有限元法（FEM）结合COMSOL Multiphysics进行数值验证，并模拟各向同性和各向异性介质中的波传播。
• 在PML系数中采用多项式过渡，以确保平滑变化，减少物理域界面处的数值反射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维各向异性固体中的弹性波传播推导出一种二阶时域PML公式，其方程数量少于现有方法？
• RQ2 拉伸函数参数的选择如何影响各向异性介质中PML的离散稳定性？
• RQ3 通过增加缩放参数α̃j，是否可以稳定原本在PML中不稳定的各向异性介质，而无需采用复杂的多参数公式？
• RQ4 与经典PML相比，所提出的公式在长期稳定性和计算效率方面有多大的优势？
• RQ5 网格尺寸和波入射角对二阶公式中PML稳定性的影响如何？

主要发现

• 所提出的公式仅使用六个方程（两个二阶偏微分方程和四个辅助方程），是目前报道中用于弹性波的最小时域PML公式。
• 对于材料IV，即使在20 ms的模拟后，PML仍保持稳定，表明在优化缩放参数下具有长期稳定性。
• 将缩放参数α̃j从1增加到20和90，显著抑制了材料III中的不稳定性，特别是在x₁方向；尽管在x₂方向仍存在残余不稳定性。
• 对于材料V，将α̃j增加到10和1可实现所有方向的稳定性，消除了在较低值下观察到的不稳定性。
• 平面波分析证实，更高的α̃j值可将不稳定根移出离散解析的空间频率范围，从而解释了稳定性的提升。
• 能量演化图（图11）显示，使用更高的α̃j值时，物理域中的反射能量明显减少，证实了吸收性能和稳定性的提升。