[论文解读] Performance and analysis of Quadratic Residue Codes of lengths less than 100

Yong Li, Qianbin Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出高效方法，估算长度小于100的二次剩余（QR）码在硬判决（HD）、软判决（SD）和线性规划（LP）译码下的性能。提出一种基于仿真方法以近似最大似然（ML）译码性能，并推导出四个定理，揭示QR码的内在特性，表明在HD下较短的QR码优于较长码，而在ML译码下较长码表现更优。ACG-ALP LP译码器实现接近ML的性能，相比基于Chase的SD译码提升约1.5 dB，并在几分之一dB内逼近ML极限。

ABSTRACT

In this paper, the performance of quadratic residue (QR) codes of lengths within 100 is given and analyzed when the hard decoding, soft decoding, and linear programming decoding algorithms are utilized. We develop a simple method to estimate the soft decoding performance, which avoids extensive simulations. Also, a simulation-based algorithm is proposed to obtain the maximum likelihood decoding performance of QR codes of lengths within 100. Moreover, four important theorems are proposed to predict the performance of the hard decoding and the maximum-likelihood decoding in which they can explore some internal properties of QR codes. It is shown that such four theorems can be applied to the QR codes with lengths less than 100 for predicting the decoding performance. In contrast, they can be straightforwardly generalized to longer QR codes. The result is never seen in the literature, to our knowledge. Simulation results show that the estimated hard decoding performance is very accurate in the whole signal-to-noise ratio (SNR) regimes, whereas the derived upper bounds of the maximum likelihood decoding are only tight for moderate to high SNR regions. For each of the considered QR codes, the soft decoding is approximately 1.5 dB better than the hard decoding. By using powerful redundant parity-check cuts, the linear programming-based decoding algorithm, i.e., the ACG-ALP decoding algorithm performs very well for any QR code. Sometimes, it is even superior to the Chase-based soft decoding algorithm significantly, and hence is only a few tenths of dB away from the maximum likelihood decoding.

研究动机与目标

• 分析并估算长度小于100的二元二次剩余（QR）码在硬判决、软判决和线性规划译码下的性能。
• 开发一种基于仿真的方法，以近似QR码的最大似然（ML）译码性能，避免耗时的全面仿真。
• 提出四个定理，揭示QR码的内部结构特性，实现对不同码长下性能的预测。
• 评估ACG-ALP线性规划译码算法的有效性，并与基于Chase的软判决译码及代数译码方法进行比较。
• 基于对长度小于100的码的洞察，建立预测更长QR码译码性能的框架。

提出的方法

• 提出一种简便方法，基于无未检测错误的假设，估算软判决译码性能，无需大量仿真。
• 提出一种基于仿真的算法，通过假设所有错误图案均被正确译码，计算ML译码性能的上界。
• 采用ACG-ALP译码算法，仅自适应添加相关约束到线性规划问题中，降低计算复杂度。
• 在长QR码中，尤其当牛顿恒等式变得难以处理时，使用Berlekamp-Massey算法高效计算错误位置多项式。
• 理论分析结合代数译码与基于校验子的方法，利用高斯消元法和矩阵行列式条件求解未知校验子。
• 在全零码字假设下，利用推导出的方程估算HD译码性能，并在所有信噪比（SNR）范围内进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无仿真条件下，能否高精度估算长度小于100的QR码在硬判决译码下的性能？
• RQ2 对于长度小于100的QR码，软判决译码相比硬判决译码可获得多大增益？
• RQ3 基于仿真的方法能否为QR码的最大似然译码性能提供可靠上界？
• RQ4 QR码的内部结构特性如何影响其在不同译码策略下的译码性能？
• RQ5 ACG-ALP线性规划译码器在多大程度上能逼近长度小于100的QR码的最大似然译码？

主要发现

• 在所有信噪比（SNR）范围内，硬判决译码性能的估计结果高度准确，验证了所提出的分析模型。
• 通过Chase算法实现的软判决译码，对所有长度小于100的QR码，相比硬判决译码可获得约1.5 dB增益。
• ACG-ALP线性规划译码器表现优异，通常优于基于Chase的软判决译码，并在几分之一dB内逼近最大似然译码性能。
• 在中高SNR区域，ML译码性能的推导上界较为紧密；但在低SNR区域准确性较低。
• 提出的四个定理揭示：在相同最小距离下，较短的QR码在HD下优于较长码，而较长码在ML译码下表现更优。
• ACG-ALP译码器的计算复杂度与代数软判决译码相当，且在低SNR区域更快，在高SNR区域更慢。