[论文解读] Performance guarantees for greedy maximization of non-submodular set functions in systems and control.

Tyler Summers, Maryam Kamgarpour|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文为在系统与控制中出现的非子模集合函数（特别是可控制性与可观测性Gramian）的贪心算法建立了性能保证。通过引入子模比和广义曲率作为界，证明了即使在不满足子模性时，也能获得近似最优解，将贪心优化理论扩展至更广泛的网络设计问题类别。

ABSTRACT

A key problem in emerging complex cyber-physical networks is the design of information and control topologies, including sensor and actuator selection and communication network design. These problems can be posed as combinatorial set function optimization problems to maximize a dynamic performance metric for the network. Some systems and control metrics feature a property called submodularity, which allows simple greedy algorithms to obtain provably near-optimal topology designs. However, many important metrics lack submodularity and therefore lack any guarantees from the existing theory. Here we show that performance guarantees can be obtained for greedy maximization of certain non-submodular functions of the controllability and observability Gramians. We derive from bounds on two key quantities: the submodularity ratio, which quantifies how far a set function is from being submodular, and the generalized curvature, which quantifies how far a set function is from being modular. Numerical experiments illustrate the results.

研究动机与目标

• 解决在信息物理网络中，针对非子模系统性能度量的贪心优化缺乏理论保证的问题。
• 识别在子模性不成立时，贪心算法仍能获得近似最优解的条件。
• 将贪心算法的适用性扩展至涉及可控制性与可观测性Gramian的关键控制与网络设计问题。
• 通过两个关键度量——子模比和广义曲率，推导性能界。
• 通过在真实世界网络设计问题上的数值实验，展示这些边界的实际相关性。

提出的方法

• 本文引入子模比作为衡量集合函数接近子模程度的指标，量化其与子模性的偏离程度。
• 定义广义曲率以量化与模性的偏离，捕捉函数对增量添加的敏感性。
• 利用子模比和广义曲率作为参数，推导贪心最大化问题的理论性能界。
• 将这些界具体应用于控制系统的Gramian相关性能度量，如可控制性与可观测性。
• 通过在真实与合成网络拓扑上的数值实验，验证理论边界的有效性。
• 该方法使得在非子模函数中可使用简单的贪心算法，替代计算成本高昂的精确优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系统与控制应用中，贪心算法能否对非子模集合函数实现性能保证？
• RQ2 子模比如何用于量化集合函数的非子模程度？
• RQ3 广义曲率在确定贪心最大化近似质量方面发挥什么作用？
• RQ4 所推导的边界在多大程度上适用于网络设计中的Gramian相关性能度量？
• RQ5 理论性能保证与数值实验中的实证结果相比如何？

主要发现

• 本文证明，当子模比和广义曲率有界时，非子模函数的贪心最大化可实现可证明的性能保证。
• 基于子模比和广义曲率，推导出近似质量的理论边界，扩展了经典子模优化结果。
• 边界在可控制性与可观测性等Gramian相关度量中被证明是有效的，这些度量在网络与控制设计中广泛应用。
• 数值实验表明，即使不满足子模性，贪心算法在实践中也表现接近最优。
• 所提出的框架使得在复杂网络设计问题中可使用高效的贪心算法，替代穷举搜索。
• 结果表明，当两个关键参数有界时，控制系统的非子模函数仍可使用简单的贪心方法可靠优化。